Mi texto de física dice que la fuerza es "una interacción entre dos cuerpos o un cuerpo y su entorno".
Cuando un objeto sufre una aceleración lo explicamos con una fuerza. Pero no medimos la fuerza, sino el cambio en la aceleración. ¿Es la fuerza sólo un constructo útil que sirve de marcador de posición en la ecuación F = ma?
¿La fuerza se define como la cantidad de masa por la aceleración, o es realmente "una interacción"?
Esta es mi opinión. En mi opinión la dinámica newtoniana funciona de la siguiente manera.
Trabajando en un marco de referencia inercial, las interacciones se describen mediante fuerzas que tienen que ser pensados como funciones o tiempo y posición y velocidad del punto de la materia sobre el que se aplican: $$\vec{F}=\vec{F}(t, \vec{x}, \vec{v}) \qquad (1)$$ Arriba, $\vec{x}$ denota la posición del punto de la materia y $\vec{v}$ es su velocidad. Cada interacción tiene su propia forma funcional que la distingue de otras interacciones.
En caso de que la interacción se deba completamente a otro punto de materia similar con posición $\vec y$ y la velocidad $\vec u$ la forma funcional de la fuerza que actúa sobre $\vec x$ tiene que incluir estos parámetros y la forma de dependencia $t$ no aparece (homogeneidad temporal en los marcos de referencia inerciales)
$$\vec{F}=\vec{F}(\vec{x}, \vec{v}, \vec{y}, \vec{u})\qquad (2)$$
y el tercera ley de Newton debe sostener, respecto a la pareja de fuerzas $\vec F$ y $\vec F'$ actuando sobre $\vec y$ :
$$\vec{F}(\vec{x}, \vec{v}, \vec{y}, \vec{u})= -\vec{F}'(\vec{y}, \vec{u}, \vec{x}, \vec{v})\:.\qquad (3)$$
En (1) la aparición de $t$ en la fórmula funcional de $\vec F$ representa un sistema externo que impone esa fuerza sobre el punto en $\vec x$ . Se supone que la evolución de ese sistema está dada. Las fuerzas debidas a los campos de fuerza son del tipo mencionado: Piénsese, en particular, en las fuerzas debidas a campos conocidos ${\vec E}(t,\vec{x})$ y ${\vec B}(t,\vec{x})$ ( $^{*}$ ).
Una de las principales tareas de la física del '700-'800 fue averiguar la forma funcional de las fuerzas asociadas a las diferentes interacciones conocidas. La fuerza gravitacional, la fuerza de Coulomb y la fuerza de Lorentz fueron descubiertas y descritas de acuerdo con este paradigma.
¿Por qué la estructura matemática (1) es relevante en física?
Esto se debe a que, si la función $\vec{F}$ es suficientemente suave, la 2ª ley de la dinámica, interpretada como ecuación diferencial :
$$\frac{d^2\vec x}{dt^2} = \frac{1}{m}\vec{F}\left(t, \vec{x}, \frac{d\vec{x}}{dt}\right) \qquad (4)$$
admite una solución única para unos datos iniciales dados $\vec{x}(0)$ , $\frac{d\vec x}{dt}|_{t=0}$ como establece un célebre teorema de varios matemáticos ( $^{\dagger}$ ). Esto no es más que la representación matemática de la determinismo mecánico .
Me gustaría destacar que, por sistemas de muchos puntos,
así como
uno termina con un sistema de ecuaciones diferenciales con la misma propiedad de (4): La existencia y la unicidad de sus soluciones están siempre garantizadas para datos iniciales dados.
En cuanto a la noción de masa es decir, la constante $m$ asociada al punto de la materia en (4), cabe destacar que no depende del tipo de interacción, es decir, de la forma funcional particular de la fuerza $\vec{F}$ actuando sobre el punto. En este sentido, la masa es un propiedad del punto de la materia .
El enfoque que he ilustrado (tan rápidamente) no funciona, como es bien sabido, debido a diversas razones (toda la física moderna, esencialmente, surge de ese fracaso). Sin embargo, existe en la física clásica una clase de interacciones muy conocidas que no pueden ser completamente abarcadas dentro de ese paradigma. Se trata de fuerzas de reacción debido a limitaciones geométricas . Sabemos que son de naturaleza eléctrica, sin embargo su forma funcional es prácticamente desconocida y se sustituye por alguna información geométrica sobre la restricción.
Pensemos en un punto obligado a pertenecer a una curva determinada y sometido además a una fuerza de forma funcional conocida $\vec{F}$ . La reacción $\vec \phi$ que actúa sobre el punto de la materia, debido a la restricción, es una incógnita del problema dinámico: $$m\frac{d^2\vec x}{dt^2} = \vec{\phi}+ \vec{F}\left(t, \vec{x}, \frac{d\vec{x}}{dt}\right) \qquad (5)$$
Le site Enfoque lagrangiano a la mecánica representa, en mi opinión, uno de los intentos más potentes para tratar estas situaciones, para una determinada clase de fuerzas debidas a restricciones (incluyendo las restricciones suaves, pero también las fuerzas debidas al restricción de rigidez y otros casos físicamente relevantes).
Obviamente, uno de los problemas más relevantes y devastadores del paradigma newtoniano fue el fracaso del tercer principio (3) en presencia de fuerzas electromagnéticas con cargas móviles en régimen dinámico.
Así que refiriéndome a sus preguntas:
(Q1) ¿Es la fuerza sólo una construcción útil para ser un marcador de posición en la ecuación $F = ma$ ?
(A1) No . Se trata, en cambio, de una noción teórica mucho más sofisticada, porque función del estado cinemático del sistema y cada interacción tiene su propia forma funcional particular .
(Q2) ¿La fuerza se define como la cantidad de masa por la aceleración, o es realmente "una interacción"?
(A2) Es no definido como la cantidad masa por la aceleración. $F=ma$ es un (diferencial) ecuación donde, salvo unos pocos casos (pero físicamente relevantes) $F$ es conocido mientras que el movimiento es desconocido. Además, el término $F$ apareciendo en $F=ma$ es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el punto de la materia debido a todas las interacciones. También por esta razón $F=ma$ no puede considerarse la definición de $F$ . Cada una de las fuerzas que aparecen en el lado derecho de $F=ma$ es la descripción matemática de una interacción correspondiente.
Comentarios añadidos en particular después de algunas observaciones de Idear
En ausencia de fuerzas, el movimiento de un punto de la materia es, en cierto sentido, el natural: velocidad constante (posiblemente velocidad evanescente) en todo marco de referencia inercial. Desde este punto de vista, las fuerzas pueden verse como el causa de las desviaciones del movimiento natural. Aceleración por lo tanto, se considera aquí como el efecto de fuerzas.
La forma funcional de $\vec{F}$ en principio, podría incluir derivadas de orden superior, como $\frac{d^3\vec{x}}{dt^3}$ . En realidad, esto ocurre para algunos sistemas físicos, como el modelo de una partícula cargada que tiene en cuenta la autoaceleración de la radiación EM. Estas formas funcionales, aunque son posibles en principio, generalmente violan el requisito de una ecuación diferencial en forma normal : $$\frac{d^n\vec{x}}{dt^n}= G(t, \mbox{derivatives of order $ < n $})\qquad (6)$$ En este caso, en general, no hay un teorema de existencia y unicidad para las soluciones de dicha ecuación diferencial con condiciones iniciales naturales: $\vec{x}(0),\ldots, \frac{d^{n-1}\vec{x}}{dt^{n-1}}|_{t=0}$ . Físicamente hablando el determinismo podría fallar. (El procedimiento heurístico descrito en la nota( $^{\dagger}$ ) no puede aplicarse, en general, si la forma (6) de la ecuación diferencial no es válida).
¿Abarca la noción de fuerza todas las interacciones (macroscópicas)? Es una cuestión muy difícil por varias razones, en particular por la siguiente. Supongamos que se describe la física dentro de un marco de referencia inercial fijo. Consideremos un conjunto de $N$ punto de la materia muy alejados entre sí y de los demás cuerpos del Universo. Sabemos que ninguna fuerza actúa sobre ellos y que su movimiento tiene una velocidad constante. En particular, la velocidad relativa de uno de ellos es constante con respecto a cualquier otro punto del conjunto. Esta es una situación muy particular. ¿Cómo es posible? ¿Cuál es la interacción que actúa sobre todos esos puntos que los obliga a moverse con un movimiento (relativo) tan peculiar? Esta interacción no puede se describen en términos de fuerzas por definición. Esta interacción es justo la que define los marcos inerciales . Como es sabido, este problema fue abordado por Mach y dio lugar a la llamada El principio de Mach que, a su vez, desempeñó un papel crucial en el desarrollo de la relatividad general por parte de A. Einstein.
Notas a pie de página
( $^{*}$ ) La homogeneidad del espacio, la isotropía del espacio y la invariancia bajo transformaciones galileanas válidas para los marcos de referencia inerciales, imponen otras severas restricciones a la forma funcional de (2). Por ejemplo, sólo la diferencia $\vec{x}-\vec{y}$ y $\vec{v}-\vec{u}$ pueden aparecer en la expresión explícita de $\vec{F}(\vec{x}, \vec{y}, \vec{v}, \vec{u})$ .
( $^{\dagger}$ ) Es suficiente que $\vec F$ es continua en todas las variables conjuntamente y es localmente Lipschitz en la variable $(\vec{x}, \vec{v})$ . $C^1$ conjuntamente en todas las variables es en gran medida suficiente. Sin embargo, hay un bonito argumento heurístico (creo que debido a Newton) sugiriendo la existencia de una solución para unas condiciones iniciales dadas. Insertando los datos iniciales en el lado derecho de (4), el lado izquierdo produce $\frac{d^2\vec x}{dt^2}|_{t=0}$ . El procedimiento puede ser iterado ad libitum ya que la forma funcional de $\vec{F}$ se conoce para poder calcular todas las derivadas en $t$ de la RHS de (4), obteniendo así todas las derivadas $\frac{d^n\vec x}{dt^n}|_{t=0}$ , para $n=0,1,2,3,\ldots$ . Estos coeficientes dan lugar a la expansión (formal) de Taylor de una solución (esperemos que analítica) de la ecuación diferencial.
La 2ª ley de Newton: $\vec{F}=m \vec{a}$ es simplemente una definición de fuerza . (Así que en realidad es NO es una ley derivada experimentalmente/teóricamente, a diferencia de la fuerza gravitatoria newtoniana $\vec{F}_{\text{ (source or cause)}}=(GMm/r^2) \hat{r}$ . ps. Sin embargo, observe que el primer $\vec{F}_{\text{(consequence)}}=m \vec{a}$ es el consecuencia/resultado de la fuerza, mientras que la posterior [toma $\vec{F}_{\text{ (source or cause)}}=GMm/r^2$ como ejemplo] es el fuente/origen/causa de la fuerza. Estos dos conceptos, aunque relacionados, son bastante diferentes. Es importante que si no se define la fuerza en la 2ª ley de Newton, se tienen problemas después para hablar de la gravedad newtoniana).
Es fácil entender esto desde el punto de vista de la medición : Mientras que $\vec{a}$ puede ser medido por reglas (espaciales) y reloj (de tiempo); y la masa $m$ se puede medir con una balanza comparando con una unidad de masa estándar. Así que ahora tenemos bien definida la fuerza $\vec{F}_{\text{(consequence)}}$ por cantidades medibles.
(La consecuencia/resultado de la) Fuerza es sólo un concepto definido por m y a. Sin embargo, es un concepto útil importante. Este concepto de fuerza puede utilizarse para conectar con el fuente o causa de la fuerza: como la gravedad, como E y M clásicas, la ley de fuerza de Lorentz sobre la carga y las corrientes e - ver también este puesto . Como un potencial $U(x)$ , causas $F=-dU(x)/dx$ . También, como la presión termodinámica sobre una zona. O simplemente fuerzas externas por parte de humanos/animales. etc.
$\bullet$ Así que el concepto de fuerza es muy útil - conectando diferentes fuente o causa de la moción $\sum_i \vec{F_i}_{\text{ (source or cause)}}$ juntos a la consecuencia/resultado $\vec{F}_{\text{(consequence)}}=m \vec{a}$ del movimiento con aceleración $\vec{a}$ o, más exactamente, al impulso $\vec{P}$ cambios: $\vec{F}_{\text{(consequence)}}=d\vec{P}/dt$ .
Podemos resumirlo así: $$ \text{ (source: E&M, gravity, thermal, external)}\to\vec{F}_{\text{ (source or cause)}}\\ =\vec{F}_{\text{(consequence)}}=m \text{(inertia)}\vec{a} \text{(motion in the spacetime)} $$
Ten en cuenta que, para mí, la 2ª ley de Newton tiene que ver con esta afirmación: $$ \vec{F}_{\text{ (source or cause)}}=\vec{F}_{\text{(consequence)}} $$ Aunque filosóficamente se puede decir que la fuerza define las interacciones - la causa . El $\vec{a}$ es el consecuencia . También se trata de la causalidad .
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