¿Tiene sentido hablar de lisa paquetes de Hilbert espacios?

Question

Hay una noción de "buen paquete de Hilbert espacios" (la base es un buen finito de dimensiones múltiples, y las fibras son espacios de Hilbert) tal que:

1• Un suave haz de Hilbert espacios por encima de un punto es la misma cosa como un espacio de Hilbert.

2• Si $E\to M$ es un suave haz de fibras de orientables colectores (decir con compacto de fibras) equipado con una vertical de la forma de volumen y, a continuación, tomar fiberwise $L^2$-funciones produce un suave haz de Hilbert espacios, por encima de $M$.

3• Si el espacio de Hilbert es finito dimensional, entonces este se especializa a la noción habitual de suave vector paquete (con fiberwise producto interior).

Sospecho que la respuesta es "no", porque yo no podía entender cómo podría funcionar...
Si la respuesta es, de hecho, no, entonces, ¿cuál es/son la mejor idea/s de suave paquete de Hilbert espacios?

Answer 1

La respuesta es sí:

Permítanme esbozar la prueba. Por lo $p:E\to M$ es el haz de fibras con fibra típica $F$ que es compacto, conectado (y orientado, por simplificar), y se le da a la vertical en forma de volumen $\mu$; por lo $\mu_x$ es una forma de volumen en cada fibra, $E_x$ que depende suavemente en $x\in M$. Primero elegí otro vertical de la forma de volumen $\nu$ tal que el volumen de cada fibra es de 1, $\int_{E_x} \nu_x=1$. Tome $\nu_x = \frac{\mu_x}{\int_{E_x}\mu_x}$, por ejemplo.

Ahora puedo construir el paquete de Hilbert con fibras de $L^2(E_{x},\nu_{x})$: Fijar una métrica de Riemann $g$ a $F$ con $\int_F vol(g)=1$. Deje $U\subset M$ ser abiertas para que los $\phi:U\times F \to E|U$ es una fibra respetando diffeomorphism. Para cada una de las $x\in M$ la Moser truco nos da una diffeomorphism $\psi_x:F\to F$ según suavemente en $x\in U$ con $(\psi_x)^*(\phi_x)^*\nu_x = vol(g)$. Para ello se utiliza la función de Green de la descomposición de Hodge con respecto a $g$ elegir un $(\dim(F)-1)$forma $\alpha_x$ con $d\alpha_x = \phi_x^*\nu_x-vol(g)$ que depende todavía sin problemas en $x\in U$.

Edit: 43.7 en el libro citado a continuación contiene Moser truco en la forma que acabo de describir.

A continuación, la asignación de $\bigsqcup_{x\in U}(x, L^2(E_{x},\nu_{x}))\ni (x,f) \mapsto (x,f\circ \phi_x \circ \psi_x^{-1})\in U\times L^2(F,vol(g))$ es un isométrico de la valorización del paquete $\bigsqcup_{x\in M}(x, L^2(E_{x},\nu_{x}))$ sobre $U$.

Editar (más detalles): El cambio de valorización se haga de una forma similar, $(x,f)\mapsto (x,f\circ \rho_x)$ para suavizar $\rho:U\times F\to F$ tal que $\rho_x$ es $vol(g)$-la preservación de diffeomorphism para cada una de las $x\in U$. Que es liso $U\times L^2(F, vol(g)) \to U\times L^2(F,vol(g))$ se ve de la siguiente manera: Esto es suficiente para mostrar que $(x,f)\mapsto \langle f\circ \rho_x, \lambda\rangle_{L^2}$ es suave para todos los $\lambda$ en un subconjunto $\subset L^2$ de los funcionales lineales que junto reconocer conjuntos acotados. Podemos tomar la $C^\infty(F)\subset L^2(F,vol(g))$ como este conjunto. Por uno de los dos liso y uniforme acotamiento teoremas del libro debajo de ella es suficiente para mostrar que para cada uno de ellos fijo $f\in L^2$ la función de $F\to \mathbb R$ dada por $$x\mapsto \langle f\circ \rho_x, \lambda\rangle_{L^2} = \int_F f(\rho_x(u))\lambda(u)\,vol(g)(u)= \int f(v) \lambda(\rho_x^{-1}(v) ((\rho_x^{-1})^*vol(g))(v)$$ es suave. Pero ahora es evidente desde $\lambda$ e $vol(g)$ son lisas.

El original del producto interior $\int_{E_x} f \mu_x$ es ahora un fiberwise métrica de Riemann en este paquete de Hilbert.

Yo uso el cálculo en las dimensiones infinitas de: Andreas Kriegl, Peter W. Michor: El Cómodo Ajuste de Análisis Global. Matemática Encuestas y Monografías, Volumen: 53, Sociedad Matemática Americana, Providencia, 1997, (pdf).

Editar:

Como TaQ señaló en su respuesta, mi prueba anterior es incorrecto. De hecho, la respuesta es no, si se acepta que la construcción de las que he probado es la natural. Es decir, en el ámbito de los espacios de Sobolev, si $k>\frac{\dim(F)}2$, para la composición de asignación de $H^{k+l}(F,\mathbb R) \times H^k(F,F) \to H^k(F,\mathbb R)$, traducciones de izquierda se $C^l$ y derecho traducciones son lisas; es decir, la composición es $C^l$ en el lado derecho de la variable, y es suave en el lado izquierdo de la variable. Este es el folclore; para obtener una prueba a ver

• H. Inci,T. Kappeler y P. Topalov, En la Regularidad de la Composición de Diffeomorphisms, Memorias de la Sociedad Matemática Americana, vol. 226 (American Mathematical Society, 2013).

En el caso anterior hemos traducciones de izquierda, y no asunción de estar por encima del umbral de Sobolev.

Pero si uno pide espacios de Sobolev en lugar de $L^2$, se obtiene un $C^{k}$ vector paquete para $H^{m}$ con $m> k + \frac{\dim(F)}2$.

Answer 2

Esta no es una respuesta , sino más bien un comentario a Pedro Michor la respuesta. De todos modos, he puesto como una respuesta para obtener más flexibilidad en la formulación de texto y para obtener una mayor visibilidad. Es decir, creo que hay un error crucial que rompe completamente el argumento por lo que generalmente no es posible realizar la construcción (2• de la OP) de la asociación de un fiberwise $L^2$ paquete a través de un haz de fibras. El error se encuentra en el siguiente pasaje:

Que es liso $U\times L^2(F, vol(g)) \to U\times L^2(F,vol(g))$ se ve de la siguiente manera: Esto es suficiente para mostrar que $(x,f)\mapsto \langle f\circ \rho_x, \lambda\rangle_{L^2}$ es suave para todos los $\lambda$ en un subconjunto $\subset L^2$ de los funcionales lineales que junto reconocer conjuntos acotados. Podemos tomar la $C^\infty(F)\subset L^2(F,vol(g))$ como este conjunto. Por uno de los dos liso y uniforme acotamiento teoremas del libro debajo de ella es suficiente para mostrar que para cada uno de ellos fijo $f\in L^2$ la función de $F\to \mathbb R$ dada por $$x\mapsto \langle f\circ \rho_x, \lambda\rangle_{L^2} = \int_F f(\rho_x(u))\lambda(u)\,vol(g)(u)= \int f(v) \lambda(\rho_x^{-1}(v) ((\rho_x^{-1})^*vol(g))(v)$$ es suave. Pero ahora es evidente desde $\lambda$ e $vol(g)$ son lisas.

Específicamente, es no suficiente para comprobar "escalar suavidad" contra el conjunto de lisa (no continua) funciones, ya que (en general) no "reconocer" limitado pone en $L^2$ . Para dar una explícita contraejemplo, la comprensión de $\mathbb S^1$ as $\mathbb R$ mod $1$ , considerar el mapa de $f:\mathbb R\times L^2(\mathbb S^1)\to L^2(\mathbb S^1)$ definido por $(t,[\,x\,])\mapsto[\,\langle\,x(t+s):s\in\mathbb R\,\rangle\,]$ . Si el argumento de Pedro Michor la respuesta era correcta, entonces para cualquier fija $x$ en $L^2$ el mapa de $c:t\mapsto f(t,[\,x\,])$ debe ser liso $\mathbb R\to L^2(\mathbb S^1)$ . Sin embargo, es fácil ver que no es ni siquiera una vez diferenciable por ejemplo, si uno toma $x$ definido por $x(s)=1$ para $|\,s-n\,|\le\frac 14$ e $n\in\mathbb Z$ , e $x(s)=0$ lo contrario, ya que, a continuación,$\lim_{\,t\to 0\,}\|\,t^{-1}(c(t)-c(0))\,\|_{L^2}=+\infty$ .