En respuesta a una pregunta en nuestro sitio hermano aquí Mencioné que un reducido anillo conmutativo $R$ tiene dimensión de Krull cero si y sólo si es von Neumann regular, es decir, si y sólo si para cualquier $r\in R $ la ecuación $r=r^2x$ tiene solución $x\in R$ .
Un usuario preguntó en un comentario si esto implica que un producto arbitrario de anillos de dimensión cero es de dimensión cero.
Le contesté que, efectivamente, esto es cierto y se deduce de la regularidad de von Neumann si los anillos son todos reducidos pero di el siguiente contraejemplo en el caso no reducido:
Sea $R$ sea el anillo producto $R=\prod_{n=1}^\infty \mathbb Z/2^n\mathbb Z$ .
Cada $\mathbb Z/2^n\mathbb Z$ es de dimensión cero, pero $R$ tiene $\gt 0$ dimensión.
Mi argumento fue que su radical Jacobson $Jac(R)=\prod_{n=1}^\infty Jac (\mathbb Z/2^n\mathbb Z)=\prod_{n=1}^\infty2\mathbb Z/2^n\mathbb Z$ contiene el no ilpotente elemento $(2,2,\cdots,2,\cdots)$ .
Sin embargo en un anillo de dimensión cero el radical de Jacobson y el radical nilpotente coinciden y por tanto $R$ debe tener dimensión positiva.
Mi pregunta es entonces simplemente: sabemos que $dim(R)\gt 0$ pero ¿cuál es exactamente la dimensión de Krull de $R$ ?
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Muchas gracias a Fred y Francesco, que al mismo tiempo (¡media hora después de que yo planteara la pregunta!) me remitieron a un artículo de Gilmer y Heinzer que respondía a mi pregunta.
Aquí es un enlace no cerrado a ese documento.
Curiosamente los autores, que escribieron su artículo en 1992, explican que ya en 1983 Hochster y Wiegand habían esbozado (pero no publicado) una prueba de que $R$ era de dimensiones infinitas.
Ya después de una ojeada superficial puedo recomendar este artículo, que contiene muchos resultados interesantes como por ejemplo la dimensionalidad infinita de $\mathbb Z^{\mathbb N}$ .
Nueva edición
Al intentar leer el artículo de Hochster y Wieland, me he dado cuenta de que hace referencia a un artículo de Maroscia al que no tengo acceso. Aquí es una exposición más completa de algunos de los resultados de Hochster y Wieland.
