¿Qué formas automórficas se esperan en la función zeta del espacio de moduli de las curvas?

Question

Supongamos que $g \geq 1$ y $n \geq 0$ la pila de módulos ${\mathcal {M}}_{g,n}$ clasifica familias de curvas proyectivas suaves de género $g$ con $n$ puntos marcados , junto con sus isomorfismos. Tiene un modelo sobre $\mathbb Z$ determinado por problemas de módulos, y hay compactación $\overline {{\mathcal {M}}}_{{g,n}}$ utilizando curvas estables, que es propia sobre $\mathbb Z$ . Y con suficientes puntos marcados o de mayor género, estos modelos parecen ser (esencialmente) suaves, y también se puede hablar de espacios de moduli gruesos.

Es interesante considerar la función zeta de Hasse-Weil del espacio de moduli de las curvas (existe una noción de puntos con valor de campo en una pila algebraica, aunque puede no coincidir con la ingenua), por lo que por la filosofía de Langland parece ser un automorfo $L$ función. Así que la cuestión es que, para las $g$ y $n$ ¿Qué tipo de representaciones automórficas irreducibles se espera que contribuyan a esta $L$ ¿función?

Motivación: la característica de Euler del espacio de moduli de las curvas tiene algo que ver con el valor especial de las funciones zeta, véase "The Euler characteristic of the moduli space of curves " por J. Harer y D. Zagier. Así que es natural esperar algunas propiedades aritméticas de estos espacios de moduli.

Answer 1

Puedo decirle la respuesta completa para $g \leq 2$ :

• Cuando $g=0$ y $n \geq 3$ no aparecen formas automórficas no triviales.
• Cuando $g=1$ y $n \geq 1$ la clase de formas automórficas que aparecen son exactamente las formas de cúspide para $\mathrm{SL}(2,\mathbf Z)$ . (Deligne, Birch)
• Cuando $g=2$ y $n \geq 0$ las formas automórficas son precisamente las formas de cúspide para $\mathrm{SL}(2,\mathbf Z)$ y las formas de cúspide vectoriales de Siegel para $\mathrm{Sp}(4,\mathbf Z)$ .

(En ninguno de los casos supondrá una diferencia para la respuesta anterior el hecho de trabajar en el espacio de módulos abierto o en su compactación). El $g=2$ La historia está repartida entre varios de mis artículos, por ejemplo, arXiv:1310.7369 y arXiv:1310.2508.

Una afirmación general que se puede hacer es que desde $\overline M_{g,n}$ es una pila propia suave sobre $\mathbf Z$ y $M_{g,n}$ es el complemento de un divisor de cruce normal sobre $\mathbf Z$ Hay una fuerte condición sobre las formas automórficas implicadas: deben tener "conductor uno". O bien, el $\ell$ -Las representaciones de Galois adádicas son unramificadas en todas partes y cristalinas en $\ell$ . Por ello, en $g=1$ sólo se obtienen formas de cúspide para el grupo modular completo y nunca para un subgrupo de congruencia, y de nuevo para $g=2$ sólo se obtiene el grupo completo $\mathrm{Sp}(4,\mathbf Z)$ .

En los últimos cinco años se han hecho grandes progresos en el problema de la enumeración de las representaciones automórficas del conductor uno, por parte de Chenevier, Renard, Taïbi, Lannes; quizás también haya que mencionar aquí a otros. Ahora pueden dar respuestas incondicionales a cosas como "Hasta una dimensión y un peso dados, ¿cuál es la lista completa de representaciones automórficas del conductor uno? ¿Cuáles son sus números de Hodge?

Hay un proyecto de larga duración en la matemática experimental de Bergström, Faber y Van der Geer que trata de estudiar las formas automórficas que aparecen para $g=3$ y $n \geq 0$ contando puntos en estos espacios de moduli sobre campos finitos e interpretando los resultados. Lamentablemente, la mayor parte de este trabajo sigue sin publicarse. Encuentran que la clase de formas automórficas que encuentran es estrictamente mayor que la clase de formas de cúspide de Siegel para $\mathrm{Sp}(2g,\mathbf Z)$ para $g=1,2,3$ . Algunas de las "nuevas" representaciones de Galois que encuentran deben estar relacionadas con las de Ichikawa Formas modulares de Teichmüller pero no estoy seguro de que esperen que todas las representaciones de Galois se contabilicen de esta manera. Esto se basa en cosas como que llegan a $n=17$ (IIRC) donde esperaban encontrar por primera vez una clase en la cohomología de Betti dada por una forma modular de Teichmüller. Y luego en los recuentos de puntos encuentran algunas representaciones de Galois de seis dimensiones desconocidas para exactamente esto $n$ transformando según la representación derecha del grupo simétrico $S_{17}$ . Así que esperan que esto sea un "motivo" de seis dimensiones "unido" a esta forma modular de Teichmüller. Y entonces buscan en las tablas de Chenevier et al y encuentran que precisamente para esta dimensión y peso deberían encontrar realmente una representación automórfica no trivial del conductor uno (tal vez era una representación de $\mathrm{SO}(7)$ en este caso ) y sus números de Hodge coinciden perfectamente con varias restricciones procedentes de la geometría. En particular, suponiendo que todo coincida, ahora han calculado muchas trazas de Frobenius en la representación de Galois que debería estar unida a esta representación automórfica que sólo se sabía abstractamente que existía. Y luego han repetido esto para valores más altos de $n$ . Pero por lo que dicen no parecen encontrar muchos patrones y no creo que tengan ninguna conjetura real de cómo debería ser el panorama general.

Así que ya el $g=3$ caso es un misterio y la situación del género superior aún más.