Es $\mathbb{H}P^\infty_{(p)}$ ¿un espacio H?

Question

Poner $X=\mathbb{H}P^\infty$ (así $X$ clasifica los haces de líneas cuaterniónicas, y $\Omega X=S^3$ ). No hay ninguna razón obvia para $X$ para ser un espacio H, porque el producto tensorial de espacios vectoriales cuaterniónicos no es naturalmente un espacio vectorial cuaterniónico. A continuación demostraré que no existe ninguna estructura de espacio H no evidente. Sin embargo, el obstáculo que utilizo tiene un orden $12$ y por tanto desaparece si localizamos en un primo $p>3$ . Mi opinión es que $X_{(p)}$ no es un espacio H para cualquier primo $p$ ¿alguien conoce una prueba de ello?

Tenga en cuenta que $H^*(X)=\mathbb{Z}[y]$ con $|y|=4$ y esto tiene una estructura de álgebra de Hopf dada por $\psi(y)=y\otimes 1+1\otimes y$ que es compatible con todas las operaciones de Steenrod. Por lo tanto, no parece haber ningún obstáculo primario.

Sin embargo, si $X$ fuera un espacio H, entonces $S^3=\Omega X$ tendría dos operaciones binarias conmutativas con la misma identidad y, por tanto, (por un argumento estándar) serían iguales y serían conmutativas. Sin embargo, se sabe que $S^3$ no es homotópico conmutativo: el mapa conmutador $S^6=S^3\wedge S^3\to S^3$ es el generador estándar $\nu'$ de $\pi_6(S^3)\simeq\mathbb{Z}/12$ .

Answer 1

No. Si fuera un $H$ -espacio, habría mapas propios de $\mathbb{H}P^\infty_{(p)}$ induciendo la multiplicación por $k$ en grado $4$ homología para todos los enteros $k$ . Pero este no es el caso por un Teorema de S. Feder y S. Gitler en "Mappings of quaternionic projective spaces", Bol. Soc. Mat. Mex. 34 (1975) 12-18. Utilizando las operaciones de Adams en el complejo $K$ -teoría demuestran que tal $k$ debe ser un $p$ -Cuadro de la derecha.

Answer 2

Siento haber sacado a relucir esta cuestión, pero he aquí otro argumento (al menos para $p$ impar, pero quizás no lo necesites) que surgió mientras pensaba en un problema no relacionado. Si $\mathbf{H}P^\infty_{(p)}$ fuera un espacio H, entonces todos los productos de Whitehead deben desaparecer, así que basta con establecer que hay un producto de Whitehead no trivial. Uno que no desaparece es el siguiente: tomemos el elemento $\iota:\mathbf{H}P^1\hookrightarrow \mathbf{H}P^\infty$ en $\pi_4(\mathbf{H}P^\infty)$ ; entonces, el $(p+1)/2$ -producto de Whitehead $[\iota, \cdots, \iota]\in \pi_{2p+1}(\mathbf{H}P^\infty)$ es distinto de cero. Bajo el isomorfismo $\pi_{2p+1}(\mathbf{H}P^\infty) \cong \pi_{2p}(S^3)$ es precisamente el representante inestable de $\alpha_1$ , también conocido como el primer mapa de unión no trivial en $\mathbf{C}P^{p}_{(p)}$ .