Los campos de definición de variedad

Question

Deje $K$ e $L$ dos subcampos de algún campo. Si una variedad es definido a lo largo del tanto $K$ e $L$, lo anterior se sigue que la variedad puede ser definido a lo largo de su intersección?

Answer 1

No, no en general. Asumiendo que se empiece con una variedad de más de un algebraicamente cerrado de campo, esto sería cierto si la variedad puede ser definido a través de su campo de módulos, que luego sería la única área mínima de definición. (En particular, esto es cierto si la variedad no tiene no trivial de automorfismos.) Tenga en cuenta también que se tiene trivialmente por género, cero curvas-no hay módulos! -- y por género, uno de curvas, por la teoría de la $j$-invariante.

Por lo tanto el más simple contraejemplo parece ser un género $2$ curva de más de $\mathbb{Q}$. Mestre ha demostrado que la obstrucción a dicha curva se define a través de su campo de módulos es un álgebra de cuaterniones más de $\mathbb{Q}$ -- es decir, la curva puede ser definido a través de su campo de módulos de iff esta álgebra de cuaterniones se divide, es decir, isomorfo a un $2 \times 2$ álgebra de matrices.

Deje $C$ ser un género $2$ curva con campo de módulos de $\mathbb{Q}$ y no trivial Mestre obstrucción. (Esas curvas que ciertamente existe. Déjeme saber si usted quiere un ejemplo claro.) A continuación, $C$ puede ser definido a través de una cuadrática campo $K$ fib $K$ divide el álgebra de cuaterniones. Por la estructura de la teoría de álgebras de cuaterniones, $C$ por lo tanto puede ser definido a lo largo infinitamente muchos cuadrática de los campos, pero no más de $\mathbb{Q}$.

Anexo: Aquí es un buen papel por S. Baba y H. Ayoade:

http://www.math.kau.se/granath/research/qm.pdf

Se aborda el Mestre obstrucción en ciertos género 2 curvas e incluye ejemplos específicos.

Answer 2

Sí, si las variedades son interpretados como subvariedades cerrado subschemes de base de extensiones, de un determinado ambiente variedad esquema (por ejemplo, afín de espacio o el espacio proyectivo).

Más precisamente, supongamos que $k \subseteq F$ son campos y la variedad $X$ es una $F$-subvariedad cerrada subscheme de $\mathbf{P}^n_F$. Por ejemplo, un campo de $K$ con $k \subseteq K \subseteq F$ que "$X$ se define sobre $K$" si $X$ es la base de la extensión de algunas subvariedades de $\mathbf{P}^n_K$. A continuación, $X$ tiene un área mínima de definición de $E$ con $k \subseteq E \subseteq F$, que se caracteriza por la propiedad de que para cualquier campo $K$ con $k \subseteq K \subseteq F$, tenemos que $X$ se define sobre $K$ si y sólo si $K$ contiene $E$.

La misma declaración se sostiene si $\mathbf{P}^n$ es reemplazado por cualquier fija $k$-variedad de $k$-esquema de $Y$.

(Nota: esta respuesta no está en contradicción con Pete. Esto es sólo una interpretación diferente de la pregunta.)

EDIT: Como Brian señala, estaba, de hecho, suponiendo que mi variedades fueron cerradas en el espacio ambiente. La declaración sobre el área mínima de la definición no es cierto incluso para abrir subschemes en el carácter $p$. Por ejemplo, si $k=\mathbb{F}_p$ e $F=k(t)$ e $Y=\operatorname{Spec} k[x]$ e $X=\operatorname{Spec} F[x,1/(x-t)]$,, a continuación, $X$ es la ampliación de la base de $\operatorname{Spec} F^{p^n}[x,1/(x^{p^n}-t^{p^n})]$, y por lo tanto es definible sobre $F^{p^n}$ para todos los $n$, pero no a través de la intersección de todos estos campos, que se acaba de $k$.

Por otro lado, la intersección de cualquier finito número de campos de definición es todavía un campo de definición.

He generalizado a los sistemas como sugerido por Brian.

Answer 3

No, ni siquiera por género $0$ curvas, si "$X$ se define sobre $K$" significa que la variedad $X$ inicialmente definidos a través de una extensión de $F$ de % de$K$, es isomorfo a la ampliación de la base de alguna variedad más de $K$. (Pete en su respuesta era suponiendo implícitamente que le permitió a base de extender a una expresión algebraica cierre de $F$ antes de bajar a $K$.)

Para finitos extensiones $F \supseteq E$ de % de $\mathbb{Q}_p$ si $X$ es el género $0$ curva de más de $F$ correspondiente a la no-división de álgebra de cuaterniones, a continuación, $X$ es una ampliación de la base de un género $0$ curva de más de $E$ si y sólo si $[F:E]$ es impar (debido a $\operatorname{Br}(E)[2] \to \operatorname{Br}(F)[2]$ es la multiplicación por $[F:E]$ de $\frac{1}{2} \mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ a sí mismo).

Así que si $F$ es $A_4$-extensión de la $k:=\mathbb{Q}_2$ (una extensión), y $K$ e $L$ son los subcampos de $F$ fijado por dos $3$-ciclos en $A_4$, e $X$ es el género $0$ curva de más de $F$ correspondiente a la no-división de álgebra de cuaterniones, a continuación, $X$ es una ampliación de la base de un género $0$ curva de más de $K$, y del mismo modo sobre $L$, pero no más de $K \cap L = \mathbb{Q}_2$.