Morava sobre la conjetura de Shafarevich

Question

$\DeclareMathOperator\Q{\mathbf{Q}}$ Jack Morava tiene algunas ideas interesantes derivadas de teoría de homotopía estable y topología geométrica en el Conjetura de Shafarevich .

El Conjetura de Shafarevich estados: $\operatorname{Gal}(\bar \Q \,/ \,\Q_{cycl})$ es libre. Es decir, el grupo de Galois del cierre algebraico de los racionales sobre el cierre ciclotómico de los racionales es un grupo libre ( Añadido: o más bien, un grupo profinito libre).

Las referencias de las reflexiones de Morava son

• El isomorfismo motivacional de Thom 2003.

• Hacia un groupoide fundamental para la categoría de homotopía estable El enlace es al arxiv, actualizado por última vez en 2009. Hay un versión de la revista de 2007.

• A la izquierda del espectro de la esfera de una charla pronunciada en la conferencia del 60º aniversario de Haynes Miller en Bonn en 2008.

• Una teoría de los motivos básicos 2009. Un seguimiento del documento anterior según la introducción.

Es un material apasionante, pero me cuesta resumir lo esencial y tengo algunas preguntas.

(1)¿Cuál es exactamente la definición de Morava de motivo mixto Tate ?

(2) ¿Cuál es exactamente la conexión que Morava defiende entre teoría de los números y topología geométrica ¿invocando la aparición de la función zeta de Riemann en la teoría A/pseudoisotopía de Waldhausen?

(3) Morava afirma que el mapa de la teoría K de los enteros a la del espectro de la esfera, $K(\mathbb {Z}) \to K(\mathbb {S})$ es una equivalencia racional como explicación (parcial) de (2). ¿Cómo funciona esto exactamente?

(4) ¿Dónde encaja aquí Shafarevich?

Se agradecerían mucho las respuestas a estas preguntas con los pies en la tierra.

Answer 1

(3) La afirmación es que el mapa de espectros de anillos $S \to HZ$ induce una equivalencia racional $K(S) \to K(Z)$ . Una referencia es la Proposición 2.2 en:

Waldhausen, Friedhelm: Algebraic $K$ -teoría de los espacios topológicos. I. Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Parte 1, pp. 35--60, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1978.

La prueba utiliza la definición de construcción del plus de la algebraica $K$ -teoría. El mapa $BGL(S) \to BGL(Z)$ es un $\pi_1$ -isomorfismo y una equivalencia racional, ya que $\pi_{n+1} BGL(S) = \pi_n GL(S)$ es el grupo de matrices infinitas sobre $\pi_n(S)$ para $n\ge1$ que es la torsión. Por lo tanto $BGL(S)^+ \to BGL(Z)^+$ es también una equivalencia racional.