Estado de la conjetura (global) de Langlands para $GL_2$ en $\mathbb{Q}$

Question

Disculpa si esta pregunta ya ha sido tratada en MO. Me pregunto sobre el estado de las conjeturas globales de Langlands para $GL_2$ sobre los números racionales. ¿Cómo de cerca está la humanidad de la prueba de estas conjeturas?

Supongo que la imagen de Langlands está relacionada con (o, ¿debería decir que incluye?) las conjeturas de Taniyama-Shimura, Fontaine-Mazur y Serre. Recientemente se han producido grandes avances en estas últimas conjeturas. Aun suponiendo que estas conjeturas estén resueltas, ¿cuánto más cerca estamos de entender el programa de Langlands para $GL_2$ ?

Sería útil que alguien señalara un artículo en el que se haya presentado una versión moderna y precisa de la conjetura global de Langlands para $GL_2$ se afirma. Para la conjetura local de Langlands, tenemos el bonito artículo de Vogan. ¿Existe un artículo análogo para la teoría global?

Answer 1

1. Veamos la expresión para el campo con masa $m$ y girar $s$ (para el caso sin masa existen las siguientes afirmaciones en forma similar): $$ \tag 1 \hat {\psi}_{a}(x) = \sum_{\sigma = -s}^{s}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3} 2E_{\mathbf p}}}\left( u^{\sigma}_{a}(\mathbf p )e^{-ipx}\hat{a}_{\sigma}(\mathbf p ) + v^{\sigma}_{a}(\mathbf p )e^{ipx}\hat{b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )\right). $$ Este campo se refiere al $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right), n + m = 2s$ representación espinor del grupo de lorentz (así que indice a significa $\psi_{a} = \psi_{a_{1}...a_{m}\dot {b}_{1}...\dot{b}_{n}}$ El campo es simétrico en todos los índices) y obedece a las ecuaciones $$ \tag 2 (\partial^{2} + m^{2})\psi_{a}(x) = 0, \quad \hat {p}^{\mu}(\sigma_{\mu})^{\dot {b}_{j}a_{i}}\psi_{a_{1}...a_{i}...a_{m}\dot {b}_{1}...\dot{b}_{j}...\dot{b}_{n}} = 0. $$ 1.1. Si tenemos el campo con espín entero $l$ podemos convertir $(1)$ (aquí se me han escapado algunos cálculos, lo cual no es importante) al rango del tensor simétrico $l$ $A_{\mu_{1}...\mu_{l}}$ (que se refieren al $\left(\frac{l}{2}, \frac{l}{2}\right)$ y también podemos convertir $(2)$ a la forma (nuestro tensor es sin traza y transverce en todos los índices) $$ \tag 3 (\partial^{2} + m^{2})A = 0, \quad \partial_{\mu_{i}}A^{\mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{l}} = 0, \quad A_{\mu_{i}}^{ \mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{l - 1}} = 0. $$ 1.2. En un caso de espín semientero $s = l + \frac{1}{2}$ si queremos obtener la teoría invariante bajo inversiones temporales y espaciales debemos introducir la suma directa $\left(\frac{l + 1}{2} , \frac{l}{2}\right) \oplus \left(\frac{l}{2} , \frac{l + 1}{2}\right)$ y luego construir la ecuación-proyecto que reduce el número de componentes independientes. Así obtenemos de $(2)$ y el requisito dado arriba lo siguiente (el campo también es simétrico, por supuesto): $$ \psi^{\mu_{1}..\mu_{l}} = \begin{pmatrix}\psi_{a}^{\mu_{1}...\mu_{l}} \\ \kappa^{\dot {b}, \mu_{1}...\mu_{l}}\end{pmatrix}, $$ $$ \tag 4 (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m) \psi = 0, \quad \gamma_{\mu_{i}}\psi^{\mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{l}} = 0, \quad g_{\mu_{i}\mu_{j}}\psi^{\mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{j}..\mu_{l}} = 0. $$

2. He aquí un teorema fuerte: campo $(1)$ es un campo lorentz-covariante si y sólo si $u_{a}^{\sigma}(\mathbf p)$ y $v_{a}^{\sigma}(\mathbf p)$ están conectados a través de la relación $$ v_{a}^{\sigma}(\mathbf p) = (-1)^{s + \sigma}u_{a}^{-\sigma}(\mathbf p). $$ Este resultado es correcto si $(1)$ se transforma bajo el rep irreducible del grupo de Lorentz $T$ que contiene del irrep del grupo de rotación de espín $s$ sólo una vez. Esto es correcto para 1.1, pero es incorrecto en el caso de 1.2. Para el último caso la modificación del teorema da $v_{a}^{\sigma}(\mathbf p ) = (-1)^{s + \sigma}\gamma_{5}u_{a}^{-\sigma}(\mathbf p ) $ . Usando 1 y 2 podemos convertir $[\psi_{a}(x), \psi_{b}^{\dagger}(y)]_{\pm}$ .

3. Giro entero: $$[\psi_{a}(x), \psi_{b}^{\dagger}(y)]_{\pm} = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}G^{\sigma}_{ab}(p)\left(e^{-ip(x- y)} \pm e^{-ip(x - y)} \right), $$ donde $G^{\sigma}_{ab}(p) = u^{\sigma}_{a}(p)(u^{\sigma}_{b}(p))^{\dagger}$ . Después podemos utilizar la siguiente receta: 1) tenemos el tensor simétrico $G^{\sigma}_{ab}(p)$ por lo que como objeto covariante de Lorentz sólo puede construirse a partir de $g_{\mu \nu}, p_{\nu}$ (el otro objeto, el símbolo de Levi-Civita, es antisimétrico). Significa que sólo puede construirse como polinoma de rango $2s$ en $p_{\mu}$ que contiene sólo los sumandos de grado par de $p$ ; así que 2) $G^{\sigma}_{ab}(p)e^{-ipx} =G^{\sigma}_{ab}(\hat {p})e^{-ipx}$ y $G^{\sigma}_{ab}(p)e^{ipx} = G^{\sigma}_{ab}(-\hat {p})e^{ipx} = G^{\sigma}_{ab}(\hat {p})e^{ipx}$ . Si no necesitamos la invarianza bajo inversión espacial e inversión temporal, obtendremos el resultado (por la misma vía) $G^{\sigma}_{ab}(-\hat {p}) = -G^{\sigma}_{ab}(\hat {p})$ para las realizaciones de espín medio entero.

4. Giro medio entero. Para este caso tenemos $$ [\psi_{a}(x), \psi_{b}^{\dagger}(y)]_{\pm} = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}\left(G^{\sigma}_{ab}(p)e^{-ip(x- y)} \pm \gamma_{5}G^{\sigma}_{ab}(p)\gamma_{5}e^{-ip(x - y)} \right). $$ Utilizando la ec. $(4)$ podemos afirmar que $G_{ab}(p) = (\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)R_{ab}(p)$ , donde $R_{ab}(p)$ se construye como la suma de los productos de las matrices gamma pares y de los momentos pares y de los productos del número impar de las gammas y del número impar de los momentos. Por lo tanto, al tener la relación $[\gamma_{5}, \gamma_{\mu}]_{+} = 0$ y la afirmación anterior podemos suponer que $\gamma_{5}G_{ab}(-p)\gamma_{5} = -G_{ab}(p)$ .

Answer 2

Además de lo que decía Joel, Langlands conjeturó la existencia de un grupo universal $\widehat{G}$ (dependiendo sólo del campo numérico) cuya representación 2-dim'l corresponde a la representación automórfica de GL(2) de forma adecuada. Estas incluirían formas automórficas con los factores arquimédicos que no son algebraico por ejemplo, las formas de Maass con valor propio de Laplace $\neq 1/4$ . Por lo que entiendo, Arthur sugiere una definición de $\widehat{G}$ aquí: http://www.claymath.org/cw/arthur/pdf/automorphic-langlands-group.pdf . La situación es similar al caso (1c) descrito anteriormente.