¿Viene el Teorema Principal de Zariski con una factorización canónica?

Question

Teorema principal de Zariski ( EGA IV , Thm 8.12.6): Supongamos que $Y$ es un esquema cuasi compacto y cuasi separado, y $f:X\to Y$ es cuasi finita, separada y de presentación finita. Entonces $f$ factores como $X\xrightarrow{g} Z\xrightarrow{h} Y$ , donde $g$ es una inmersión abierta y $h$ es finito.

¿Existe una opción canónica para la factorización $f=h\circ g$ ¿al menos en algunas circunstancias?

Por ejemplo, supongamos que $f$ factores como $X\to U\to Y$ , donde $X\to U$ es finito etéreo y $U\to Y$ es una inmersión abierta de Stein (es decir, el pushforward de $\mathcal O_U$ es $\mathcal O_Y$ ). Entonces estoy bastante seguro de que la factorización de Stein $X\to \mathit{Spec}_Y(f_*\mathcal O_X)\to Y$ es testigo del Teorema Principal de Zariksi (es decir, es una inmersión abierta seguida de un mapa finito).

En general, ¿cuándo la factorización de Stein es testigo de la ZMT? En los casos en los que no es testigo de la ZMT (por ejemplo $X$ finito sobre un abierto afín en $Y$ ), ¿hay algún otro testigo canónico?

Answer 1

Creo que existe un objeto inicial si se trabaja con esquemas integrales excelentes (tal vez integral no es realmente necesariamente, pero luego requieren que $X$ ser esquemáticamente denso en $Z$ ).

Supongamos que $X, Y$ son integrales y excelentes. Considera todas las factorizaciones posibles $X\to Z_{\alpha} \to Y$ con $Z_{\alpha}$ integral. Entonces $K(Z_{\alpha})=K(X)$ . Para cualquier par $Z_{\alpha}, Z_{\beta}$ el cierre $Z_{\gamma}$ de $X$ en $Z_{\alpha}\times_Y Z_{\beta}$ da una factorización $X\to Z_{\gamma}\to Y$ con $Z_{\gamma}$ dominante $Z_{\alpha}$ y $Z_{\beta}$ , finito sobre $Y$ y $X\to Z_{\gamma}$ es una inmersión abierta (se comprueba que $X\to Z_{\gamma}$ es una inmersión, por lo tanto abierta en algún subesquema cerrado $F$ pero $X$ es birracional a $Z_{\gamma}$ Así que $F=Z_{\gamma}$ ). Así, podemos considerar el límite proyectivo $Z$ de la $Z_{\alpha}$ 's.

Por construcción $Z$ es afín e integral sobre $Y$ . Como $Z_{\alpha}$ está dominada por la normalización $\widetilde{Y}$ de $Y$ en $K(X)$ y $\widetilde{Y}$ es finito sobre $Y$ por una excelente hipótesis, $Z$ es finito sobre $Y$ . Queda por ver que el mapa canónico $X\to Z$ es una inmersión abierta. Esta propiedad es local sobre $Y$ . Así que suponemos $Y$ es afín. Portada $X$ por subconjuntos abiertos afines principales $D(h)$ 's de algunos $Z_{\alpha_0}$ . Entonces $D(h) \to D_Z(h)$ es una inmersión cerrada porque $D(h)\to D_{Z_{\alpha_0}}(h)$ es, y es biracional, por lo que es un isomorfismo y hemos terminado.

Sería interesante calcular explícitamente el límite proyectivo en algunas situaciones concretas. Por ejemplo, consideremos una superficie $S$ , finito sobre $\mathbb A^2_{\mathbb C}$ con locus no normal $\Delta$ . Sea $X$ sea un subconjunto abierto de $S$ con $\Delta\cap X$ no vacío y no igual a $\Delta$ . La inclusión $X\to S=Z_{\alpha_0}$ es una factorización. Pero, ¿qué es la $Z$ ¿se construye como en el caso anterior?

Answer 2

Me he dado cuenta de que me he saltado completamente la segunda parte de la pregunta (el ejemplo). Tenga en cuenta que ZMT implica que $f$ es un morfismo cuasi-afín. Entonces $X\to \mathit{Spec}(f_*\mathcal O_X)$ es siempre una inmersión abierta (véase proyecto de pila , capítulo 21, lema 12.3). Entonces la factorización de Stein es testigo de ZMT si y sólo si $f_*\mathcal O_X$ es finito sobre $\mathcal O_Y$ .

Algunos comentarios: hay que tener en cuenta que, en general, el álgebra cuasi-coherente $f_*\mathcal O_X$ no es finito sobre $\mathcal O_Y$ y peor aún, el morfismo $\mathit{Spec}(f_*\mathcal O_X)\to Y$ puede no ser de tipo finito (tomar $Y$ una variedad algebraica y $f$ una inmersión abierta. A continuación, $\mathcal O(X)$ es o no finitamente generado está relacionado con el 14º problema de Hilbert). Consideremos ahora una factorización ZMT $X\to Z\to Y$ . Si el complementario de $X$ en $Z$ sólo consiste en puntos de profundidad mínima de 2 (véase discusiones aquí ), entonces $f_*\mathcal O_X=h_*\mathcal O_Z$ es finito y somos felices. Esto sucede cuando $X$ es normal (o con locus no normales finitos sobre $Y$ ) y es proyectiva a $Y$ con complementariedad en $Z$ de codimensión al menos 2. Pero no tengo un criterio general.