En la estructura global del espacio métrico de Gromov-Hausdorff

Question

Esta es una pregunta puramente ociosa, que surgió durante una conversación con un amigo sobre lo que se sabe (o no se sabe) sobre el espacio de espacios métricos compactos. Originalmente hice esta pregunta en math.stackexchange (https://math.stackexchange.com/questions/1356066/global-structure-of-the-gromov-hausdorff-space), pero no recibí respuestas incluso después de ofrecer recompensa.

Antecedentes. Si $A, B$ son subconjuntos compactos de un espacio métrico $M$, la distancia Hausdorff entre $A$ y $B$ es la peor mejor distancia entre sus puntos: $$d_H(A, B)=\max\{\sup\{\inf\{d(a, b): b\in B\}: a\in A\}, \sup\{\inf\{d(a, b): a\in A\}: b\in B\}\}.$$ Para dos espacios métricos compactos $X, Y$, su distancia Gromov-Hausdorff es el ínfimo (en realidad, mínimo) sobre todas las incrustaciones isométricas de $X, Y$ en $Z$ a través de $f, g$ de $d_H(f(X), g(Y))$. El espacio Gromov-Hausdorff $\mathcal{GH}$ es entonces el "conjunto" de clases de isometría de espacios métricos compactos, con la métrica $d_{GH}$.)

Pregunta. ¿Qué tan homogéneo es $\mathcal{GH}$? Por ejemplo: si bien puntos distintos en $\mathcal{GH}$ son de hecho distinguibles en un sentido amplio, no está claro que puntos distintos siempre puedan ser distinguibles solo por la estructura métrica de $\mathcal{GH}$, por lo que es razonable preguntar:

¿Existen autoisometrías no triviales de $\mathcal{GH}$?

Por supuesto, hay muchas preguntas relacionadas que se pueden hacer (por ejemplo, autohomeomorfismos en lugar de isometrías); estaré feliz con cualquier información sobre la homogeneidad de $\mathcal{GH}$.

---

No dudes en añadir etiquetas si son más apropiadas.

Answer 1

Para responder a la pregunta principal-no hay trivial auto-isometrías de $\mathcal{GH}$.

Me puede dar una prueba de ello, pero como se está haciendo bastante larga, voy a mencionar algunos hechos en $\mathcal{GH}$ sin prueba por ahora, y va a volver y proporcionar proporcionar pruebas o referencias.

Primero, un poco de notación. Deje ${\rm diam}(A)=\sup\{d(a,b)\colon a,b\in A\}$ el valor del diámetro de un espacio métrico $A$. Para cualquier $\lambda > 0$ uso de $\lambda A$ para denotar el espacio con los mismos puntos que $A$, pero con escala métrica dada por $d_\lambda(a,b)=\lambda d(a,b)$. Deje $\Delta_n$ denotar la (n-1)-simplex: un espacio que consta de $n$ puntos de todos a la unidad de distancia el uno del otro. Por eso, $\Delta_1$ es el espacio que consta de un solo punto, y $\lambda\Delta_n$ es un espacio que consta de $n$ de los puntos en la distancia $\lambda$ unos de otros.

Ahora, los siguientes son estándar, $$\begin{align} &d_{GH}(\Delta_1,A)=\frac12{\rm diam}(A),\\ &d_{GH}(A,B)\le\frac12\max({\rm diam}(A),{\rm diam}(B)),\\ &d_{GH}(\lambda A,\mu A)=\frac12\lvert\lambda-\mu\rvert{\rm diam}(A). \end{align}$$ Para su referencia, la estoy usando Algunas Propiedades de Gromov–Hausdorff Distancias por Fecundo Mémoli por las propiedades estándar de $\mathcal{GH}$. Entonces, el punto del espacio de $\Delta_1$ se distingue sólo en términos de la métrica en la $\mathcal{GH}$ el siguiente,

1. $A$ es isométrico a $\Delta_1$ si y sólo si $d_{GH}(B,C)\le\max(d_{GH}(A,B),d_{GH}(A,C))$ para todos los $B,C\in\mathcal{GH}$.

Que esta desigualdad se cumple para $A=\Delta_1$ sigue desde el primer estándar dos propiedades anteriores. Por otro lado, si $A$ contiene más de un punto, por lo ${\rm diam}(A)>0$, podemos tomar $B=\Delta_1$ e $C=\lambda A$ cualquier $\lambda > 1$, $$\begin{eqnarray} d_{GH}(B,C)&=&d_{GH}(\Delta_1,\lambda A)=\frac\lambda2{\rm diam}(A) \\ &>&\frac12\max(1,\lambda-1){\rm diam}(A)=\max(d_{GH}(A,B),d_{GH}(A,C)) \end{eqnarray}.$$ Así, la declaración de 1 contiene en ambas direcciones. Por lo tanto, cualquier isometría corrige $\Delta_1$ y, por el primer estándar de la propiedad de $\mathcal{GH}$ anterior, se conserva el diámetro de los espacios.

A continuación, el simplexes $\Delta_n$ se distinguen en términos de la métrica de la siguiente manera,

2. Los siguientes son equivalentes para cualquier $A\in\mathcal{GH}$.

• ${\rm diam}(A)=1$ e $d_{GH}(B,C)\le\max(d_{GH}(A,B),d_{GH}(A,C))$ para todos los $B,C\in\mathcal{GH}$ con diámetro inferior o igual a $1$.
• $A=\Delta_n$ para algunos $n\ge2$.

La prueba de esto es la siguiente. Así, una $\iota$ es una isometría en $\mathcal{GH}$ mapas el conjunto de simplifica $\{\Delta_n\colon n\ge2\}$ a sí mismo. Ahora, el finito de espacios en $\mathcal{GH}$ puede ser identificado.

3. Para cualquier $n\ge2$ e $A\in\mathcal{GH}$, los siguientes son equivalentes.

• $d_{GH}(A,B)=d_{GH}(\Delta_n,B)$ para todos los $B\in\mathcal{GH}$ con $d_{GH}(\Delta_n,B)={\rm diag}(B)\ge\max({\rm diag}(A),1)$.
• $A$ es un espacio finito $n$ o menos puntos.

Por lo tanto, si $\mathcal{GH}_n$ denota el finito métrica espacios con $n$ o menos puntos, (2) y (3) implica que $\iota$ permutes $\{\mathcal{GH}_n\colon n\ge2\}$. Como se debe de preservar las inclusiones $\mathcal{GH}_n\subset\mathcal{GH}_{n+1}$, se deduce que el $\iota$ mapas de $\mathcal{GH}_n$ a sí mismo para cada una de las $n\ge2$.

Ahora, fix $n\ge2$, vamos a $N=n(n-1)/2$, e $S$ ser el subconjunto de $\mathbb{R}^N$ que consiste en puntos de $\mathbf x=(x_{ij})_{1\le i < j\le n}$ con $x_{ij}>0$ e $x_{ik}\le x_{ij}+x_{jk}$ para todos los distintos $i,j$ (aquí, yo estoy usando el $x_{ij}\equiv x_{ji}$ siempre $i > j$. Deje $G$ el grupo de transformaciones lineales de $\mathbb{R}^N$ asignación de $\mathbf x$ a $g_ \sigma(\mathbf x)=(x_{\sigma(i)\sigma(j)})$ for permutations $\sigma\en S_n$. Then, $S$ is a region in $\mathbb{R}^N$ with nonempty interior bounded by a finite set of hyperplanes, and maps in $G$ take the interior of $S$ into itself. We can define $\theta\colon S\a\mathcal{GH}$ by letting $\theta(\mathbf x)$ be the space with $n$ points $a_1,\ldots,a_n$ and $d(a_i,a_j)=x_{ij}$, and define a (continuous multivalued) function $f\colon S\a S$ by $\theta\circ f=\iota\circ\theta$. Then, $\theta$ maps $S$ onto the metric spaces with $n$ points, the values of $f(\mathbf x)$ are orbits of $G$, and the fact that $\iota$ is an isometry means that if $\mathbf y=f(\mathbf x)$ and $\mathbf y^\prime=f(\mathbf x^\prime)$, then $\min_g\lVert g(\mathbf y)-\mathbf y^\prime\rVert=\min_g\lVert g(\mathbf x)-\mathbf x^\prime\rVert$, with the minimum taken over $g\in G$ and using the $\ell_\infty$ norm on $\mathbb{R}^N$.

Ahora, vamos a $X\subset\mathbb{R}^N$ consta de los puntos fijos de los elementos de $G$, que es una unión finita de hyperplanes, y $S^\prime=S\setminus\ X$. Tenga en cuenta que $f$ mapas de $S^\prime$ dentro de sí mismo -- supongamos que $\mathbf y = f(\mathbf x)\in X$ para algunos $\mathbf x\in S^\prime$. A continuación, $g(\mathbf y)=\mathbf y$ para algunos $g\in G$. La elección de $f(\mathbf x^\prime)=\mathbf y^\prime$ arbitrariamente cerca de $\mathbf y$ con $h(\mathbf y^\prime)\not=\mathbf y^\prime$ (todas las $h\in G$), tenemos $\mathbf x^\prime$ e e $g(\mathbf x^\prime)$ arbitrariamente cerca de $\mathbf x$, lo $g(\mathbf x)=\mathbf x$, contradiciendo la suposición. Así, en el barrio de cualquier punto en $S^\prime$, podemos tomar un continuo rama de $f$, en cuyo caso $f$ a nivel local es una isometría en virtud de la $\ell_\infty$ norma, que es sólo el caso si $f(\mathbf x)=P\mathbf x+\mathbf b$ (donde $P$ permutes y, posiblemente, refleja los signos de los elementos de $\mathbf x$, e $\mathbf b\in\mathbb{R}^N$), con $P$ e $\mathbf b$ constante a lo largo de cada componente de $S^\prime$. Como $\mathbf x\to 0$, $\theta(\mathbf x)$ tiende a $\Delta_1$, a partir de la cual podemos ver que $\mathbf b=0$.

Por lo tanto, tenemos $f(\mathbf x)=P\mathbf x$, y como los componentes de $f(\mathbf x)$ son positivas, $P$ es una matriz de permutación. Con el fin de que $f$ es continua a través de la hyperplanes en $X$, podemos ver que $P$ es constante a lo largo de todos los de $S^\prime$ (elección continua ramas de $f$ a través de cada hyperplane). A continuación, $P^{-1}gP\in G$, para todos los $g\in G$, como $f$ es invariante bajo la acción de $G$. Por eso, $P$ es en el normalizador de la $G$. Ahora, se puede ver que centraliser de $G$ en el grupo de las permutaciones (actuando en $\mathbb{R}^N$ por permuting los elementos) es trivial, lo que implica que su normalización es en sí mismo (Permutación de Grupos, consulte el comentario anterior Teorema 4.2 B). Por lo tanto $P\in G$, lo $\iota$ actos trivialmente en los espacios con $n$ puntos. Como el finito espacios son densos en $\mathcal{GH}$, $\iota$ es trivial.

---

Ahora voy a dar una prueba de declaración (2) anterior, para que la siguiente formulación alternativa de la Gromov-Hausdorff distancia será de utilidad. Una correspondencia, $R$, entre dos conjuntos de $A$ e $B$ es un subconjunto de $A\times B$ tal que, para cada una de las $a\in A$ existe $b\in B$ tal que $(a,b)\in R$ y, para cada una de las $b\in B$, hay un $a\in A$ con $(a,b)\in R$. El conjunto de correspondencias entre las $A$ e $B$ es denotado por $\mathcal R(A,B)$. Si $A,B$ son de métrica de los espacios de la diferencia de $R$ es, $${\rm dis}(R)=\sup\left\{\lvert d(a_1,a_2)-d(b_1,b_2)\rvert\colon (a_1,b_1),(a_2,b_2)\R\right\}.$$ El Gromov-Hausdorff la distancia es el infimum de ${\rm dis}(R)/2$ tomada $R\in\mathcal R(A,B)$.

Ahora, vamos a probar que (2), comenzando con el caso donde $A=\Delta_n$, algunos $n\ge2$, por lo que tenemos que demostrar $$d_{GH}(B,C)\le\max(d_{GH}(\Delta_n,B),d_{GH}(\Delta_n,C))$$ siempre que $B,C$ han diámetro delimitada por $1$. Como hemos, $d_{GH}(B,C)\le1/2$, la desigualdad es trivial, a menos $d_{GH}(\Delta_n,B)$ e $d_{GH}(\Delta_n,C)$ son estrictamente menor que $1/2$, por lo que suponemos que este es el caso. Indicar los puntos de $\Delta_n$ por $p_1,p_2,\ldots,p_n$. Si $R\in\mathcal R(\Delta_n,B)$ es tal que ${\rm dis}(R)/2 < 1/2$, luego dejando $B_i$ consta de los puntos de $b\in B$ con $(p_i,b)\in R$, los conjuntos de $B_1,\ldots,B_n$ cubierta $B$. Para cualquier $b,b^\prime\in B_i$ entonces $d(b,b^\prime)=\lvert d(p_i,p_i)-d(b,b^\prime)\rvert\le{\rm dis}(R)$, por lo que el $B_i$ tienen diámetros delimitada por ${\rm dis}(R)$. También, para cualquier $i\not=j$ si $b\in B_i\cap B_j$ entonces ${\rm dis}(R)\ge\lvert d(p_i,p_j)-d(b,b)\rvert=1$, dando una contradicción. Así, el $B_i$ son distintos conjuntos que abarcan $B$. Del mismo modo, si $S\in\mathcal R(\Delta_n,C)$ ha ${\rm dis}(S)/2 < 1/2$, entonces podemos partición $C$ a $n$ conjuntos, $C_i$, de diámetro delimitada por ${\rm dis}(S)$. La definición de $T=\bigcup_{i=1}^n(B_i\times C_i)\in\mathcal R(B,C)$, se puede observar que ${\rm dis}(T)\le\max({\rm dis}(R),{\rm dis}(S))$, desde el que se requiere la desigualdad de la siguiente manera.

Ahora, podemos demostrar lo contrario - si $A$ tiene el diámetro $1$ y no es isométrico a $\Delta_n$ cualquier $n$, entonces podemos encontrar espacios de $B,C$ del diámetro de la $1$ con $d_{GH}(B,C)=1/2$ y con $d_{GH}(A,B)$, $d_{GH}(A,C)$ estrictamente menor que $1/2$. Voy a considerar primero el caso en que $A$ es finito con $m\ge2$ puntos, por lo $A=\{a_1,\ldots,a_m\}$. Como $A$ no es isométrico a $\Delta_m$, no deben existir dos puntos separados por menos de la unidad de distancia. Wlog, tome $d(a_{m-1},a_m)=x < 1$. A continuación, $m > 2$, de lo contrario $A$ habría diámetro $x < 1$. Podemos definir a la $R\in\mathcal R(A,\Delta_{m-1})$ a $\{(a_i,p_i)\colon i=1,\ldots,m-1\}\cup\{(a_m,p_{m-1})\}$, lo que ha discrepancia limitada por el máximo de $\lvert d(a_i,a_j)-1\rvert$ sobre $i\not=j$ e $d(a_{m-1},a)m)=x$. Por eso, $d_{GH}(A,\Delta_{m-1}) < 1/2$. A continuación, podemos definir $R\in\mathcal R(A,\Delta_m)$ a ser la colección de pares $(a_i,p_i)$ para $i=1,\ldots,m$. Su discrepancia es el máximo de $d(a_i,a_j)-1$ sobre $i\not=j$, que es estrictamente menor que $1$, lo $d_{GH}(A,\Delta_m) < 1/2$. Sin embargo, $d_{GH}(\Delta_{m-1},\Delta_m)=1/2$, lo $B=\Delta_{m-1}$ e $C=\Delta_m$ satisface las propiedades deseadas.

Ahora, supongamos que el $A$ no es un espacio finito. Para cualquier $m\ge2$ existe una colección de $a_1,a_2,\ldots,a_m$ de % de $m$ puntos distintos en $A$. Luego, por la compacidad, podemos cubrir la $A$ con una colección finita de conjuntos no vacíos $A_1,\ldots,A_r$ de diámetro delimitada por $1/2$. Set $A_{r+i}=\{a_i\}$ para $i=1,\ldots,m$. Deje $S=\{s_1,\ldots,s_{m+r}\}$ ser el espacio finito con $d(s_i,s_j)=1$ para $i,j > r$ y con la distancia $1/2$ entre todos los otros pares de puntos. La correspondencia $R=\bigcup_{i=1}^{m+r}(A_i\times\{s_i\})$ ha discrepancia $${\rm dis}(R)=\max\left\{1/2,1-d(a_i,a_j)\colon 1\le i < j\le m\right\} < 1.$$ Por eso, $S$ es finito con diámetro de $1$, contiene un subconjunto isométrica a $\Delta_m$, e $d_{GH}(A,S) < 1/2$.

Ahora, podemos dejar que la $B$ ser cualquier conjunto finito con diámetro de $1$ e $d_{GH}(A,B) < 1/2$. Si $m$ mayor que el número de puntos en $B$, vamos a $C$ ser un conjunto finito con diámetro de $1$, un subconjunto isométrica a $\Delta_m$, e $d_{GH}(A,C) < 1/2$. A continuación, $d_{GH}(B,C)=1/2$, y cumple con las propiedades requeridas, demostrando (2).

Answer 2

Hemos escrito un texto con más detalles sobre la prueba dada por George Lowther. Aquí se puede ver el resultado: https://arxiv.org/pdf/1806.02100.pdf. Sin embargo, localmente hay muchas autoisometrías, ver https://arxiv.org/pdf/1611.04484.pdf