Duda sobre las series de Taylor: ¿las derivadas sucesivas en un punto determinan toda la función?

Question

Actualmente estoy reaprendiendo la serie Taylor y ayer pensé en algo que me dejó perplejo. Según tengo entendido, siempre que se toma la serie de Taylor de cualquier función $f(x)$ alrededor de un punto $x = a$ la función es exactamente igual a su serie de Taylor, es decir:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$

Por ejemplo, si tomamos $f(x) = e^x$ y $x = 0$ obtenemos: $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $

Mi duda es: las únicas variables de la fórmula de la serie Tayor son $f(a), f'(a), f''(a),$ etc., es decir, las derivadas sucesivas de la función $f$ evaluado en un punto $x = a$ . Pero la serie Taylor de $f(x)$ determinar toda la función ¿Cómo es posible que las derivadas sucesivas de la función evaluadas en un único punto determinen la función entera? ¿Significa esto que si conocemos los valores de $f^{(n)}(a)$ entonces $f$ está determinada de forma única? ¿Existe alguna intuición de por qué las derivadas sucesivas de $f$ sobre un único punto codifican la información necesaria para determinar $f$ ¿únicamente?

Tal vez me estoy perdiendo una idea clave y todo mi razonamiento es erróneo, si es así por favor diga dónde está mi error.

Gracias.

Answer 1

Tienes razón, en general $f$ no está determinada por sus derivadas en un único punto. Las funciones que cumplen esta condición se denominan analíticas. Pero no todas las funciones suaves son analíticas, por ejemplo

$$x\mapsto\left\{\begin{array}{c}e^{-\frac{1}{x^2}}, x>0\\0, x\leq 0\end{array}\right.$$ es una función suave y las derivadas en cero son todas cero, por lo que la serie de Taylor desarrollada en cero no determina la función.

Además, el enunciado exacto del teorema de Taylor es bastante diferente de lo que has dicho. Es como sigue:

Si $f\in C^{k+1}(\mathbb{R})$ entonces $$f(x)=\sum_{n=0}^k f^{(n)}(a)(x-a)^n\frac{1}{n!} + f^{(k+1)}(\xi)\frac{1}{(k+1)!}(x-a)^{k+1}$$

Si ahora toma $k\rightarrow\infty$ en general no está claro que este término de error converja a cero.

Answer 2

Las funciones que son la suma de sus series de Taylor dentro del intervalo (o disco para funciones de una variable compleja) de convergencia se conocen como funciones analíticas . Muchas funciones elementales básicas son analítico: $\;\exp, \sin,\cos,\sinh,\cosh $ y, por supuesto, los polinomios son analíticos en $\mathbf R$ (o $\mathbf C$ ).

No es cierto que, en general, una función infinitamente diferenciable de una variable real sea analítica en el intervalo de convergencia de su serie de Taylor, como muestra el ejemplo de @humanStampedist.

Sin embargo, para una función de variable compleja, basta con que sea diferenciable para asegurar que la función es analítica (se suele decir holomorfo en este caso). Esto se debe a las fuertes restricciones de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Answer 3

HumanStampedist ha respondido adecuadamente a la pregunta. Me gustaría mencionar que, al igual que hay funciones continuas que no son diferenciables en ninguna parte, como la función de Weierstrass, hay funciones suaves (todas $n$ en cada punto) que son en ninguna parte analítica , es decir en ningún punto la serie de Taylor converge a la función original. Un ejemplo es la Función Fabius .

Answer 4

No hay que esforzarse mucho para encontrar una función que no coincida con su serie de Taylor en todas partes. La función valor absoluto es una función bastante conocida. La serie de Taylor de $|x|$ en $x = 1$ es $x$ . (El término constante es cero y todos los términos de grado superior son cero. Si se ignora la mitad izquierda de la gráfica de $|x|$ deberías ver que esta función está "intentando" ser una línea recta en cualquier vecindad abierta razonablemente pequeña y/o acotada por encima de cero a la izquierda del punto de expansión, $1$ .)

Esta expansión de Taylor es idéntico a la función en $x \geq 0$ y es hilarantemente erróneo para $x < 0$ . Sin embargo, al expandir una serie de Taylor en cualquier punto de la mitad izquierda de la recta real se obtiene $-x$ . Esto es idéntico a la función en $x \leq 0$ e hilarantemente equivocado en la mitad derecha de la línea real.

¿Por qué la serie Taylor no "funcionaba" en todas partes? En cualquier pequeño barrio de un $x$ que no incluya $0$ la función $|x|$ parece una línea con pendiente $1$ o una recta con pendiente $-1$ así que esto es todo lo que los derivados pueden ver. El repentino cambio de comportamiento en $x = 0$ es no señalados en los derivados en ninguna parte (salvo que ninguno de los derivados existe en $x = 0$ ). Es casi como si la indefinición en $x=0$ actúa como una barrera -- la serie de Taylor a un lado de esa barrera no reproduce el comportamiento del otro lado. (... excepto en accidentes cuidadosamente artificiosos, como $\frac{x^2}{x}$ que no está definido en $0$ por lo que no tiene derivadas allí, pero coincide con cualquiera de sus series de Taylor).