¿Existen colectores lisos $M$ con la siguiente propiedad:
Existe una métrica realizadora $d$ (es decir $d$ induce la topología sobre $M$ ), y $d$ es suave en todas $M \times M$ ?
En caso negativo, ¿es posible garantizar la suavidad de la función $x \mapsto d(x,y)$ (para un $y$ ), o la suavidad de $d^2$ ¿incluso en un colector compacto?
(Intento ver si podemos conseguir una "suavidad mejorada" si no forzamos a que la métrica sea riemanniana).
Por supuesto, tal métrica no puede ser inducida por una métrica riemanniana. (Véase aquí y aquí ).
Actualización y nuevas preguntas:
(1) Joonas Ilmavirta mostró $d$ no puede ser suave en una vecindad de puntos de la diagonal. En realidad, la prueba muestra $d$ ni siquiera puede ser dos veces continuamente diferenciable. (Esta es la regularidad necesaria para acotar desde arriba el resto de Taylor*).
Ahora una pregunta natural es si esta regularidad puede ser alcanzada por alguna métrica (sospecho que no, de hecho creo que la distancia ni siquiera debería ser diferenciable una vez en la diagonal, la intuición se basa en el ejemplo del valor absoluto en $\mathbb{R}$ ).
(2) ¿Es necesario también que exista una singularidad en el diámetro de la métrica (para las variedades compactas)?
*De hecho la prueba funciona incluso si sólo suponemos $x \mapsto d(x,y)$ es continuamente dos veces diferenciable, y continuidad de las derivadas parciales (como funciones de dos variables).
$ \frac{d}{dt}f(t,t) = \lim_{\Delta \to 0} \frac {f(t+\Delta,t+\Delta)-f(t,t)}{\Delta} = \lim_{\Delta \to 0} \left( \frac {f(t+\Delta,t+\Delta)-f(t+\Delta,t)}{\Delta} + \frac {f(t+\Delta,t)-f(t,t)}{\Delta} \right) = \lim_{\Delta \to 0} \left( \frac {f(t+\Delta,t+\Delta)-f(t+\Delta,t)}{\Delta} + \frac {f(t+\Delta,t)-f(t,t)}{\Delta} \right) = \lim_{\Delta \to 0} \frac{\partial f}{\partial s}(t+\Delta,t+\alpha(\Delta) \cdot \Delta) + \lim_{\Delta \to 0} \frac{\partial f}{\partial t}(t+\beta(\Delta) \cdot \Delta,t) = \frac{\partial f}{\partial s} (t,t) + \frac{\partial f}{\partial t} (t,t)$
( $0 \le \alpha(\Delta), \beta(\Delta) \le 1$ teorema del valor medio de Lagrange)
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Probablemente ya lo sepas, pero, por si acaso: Es más razonable pedir que el cuadrado de la métrica sea suave (o, más en general, que $F(d):M\times M\to\mathbb{R}$ sea suave, donde $F:[0,\infty)\to[0,\infty)$ es una función estrictamente creciente que cumple otras propiedades). Esto resulta ser igual de bueno para la mayoría de los propósitos (por ejemplo, en geometría de la información) y, para muchos propósitos, es mucho mejor que pedir que $d$ ser suave.
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He actualizado mi respuesta para discutir la existencia de una métrica lo más suave posible.