¿Es posible que una métrica sobre un colector liso sea lisa?

Question

¿Existen colectores lisos $M$ con la siguiente propiedad:

Existe una métrica realizadora $d$ (es decir $d$ induce la topología sobre $M$ ), y $d$ es suave en todas $M \times M$ ?

En caso negativo, ¿es posible garantizar la suavidad de la función $x \mapsto d(x,y)$ (para un $y$ ), o la suavidad de $d^2$ ¿incluso en un colector compacto?

(Intento ver si podemos conseguir una "suavidad mejorada" si no forzamos a que la métrica sea riemanniana).

Por supuesto, tal métrica no puede ser inducida por una métrica riemanniana. (Véase aquí y aquí ).

Actualización y nuevas preguntas:

(1) Joonas Ilmavirta mostró $d$ no puede ser suave en una vecindad de puntos de la diagonal. En realidad, la prueba muestra $d$ ni siquiera puede ser dos veces continuamente diferenciable. (Esta es la regularidad necesaria para acotar desde arriba el resto de Taylor*).

Ahora una pregunta natural es si esta regularidad puede ser alcanzada por alguna métrica (sospecho que no, de hecho creo que la distancia ni siquiera debería ser diferenciable una vez en la diagonal, la intuición se basa en el ejemplo del valor absoluto en $\mathbb{R}$ ).

(2) ¿Es necesario también que exista una singularidad en el diámetro de la métrica (para las variedades compactas)?

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*De hecho la prueba funciona incluso si sólo suponemos $x \mapsto d(x,y)$ es continuamente dos veces diferenciable, y continuidad de las derivadas parciales (como funciones de dos variables).

$ \frac{d}{dt}f(t,t) = \lim_{\Delta \to 0} \frac {f(t+\Delta,t+\Delta)-f(t,t)}{\Delta} = \lim_{\Delta \to 0} \left( \frac {f(t+\Delta,t+\Delta)-f(t+\Delta,t)}{\Delta} + \frac {f(t+\Delta,t)-f(t,t)}{\Delta} \right) = \lim_{\Delta \to 0} \left( \frac {f(t+\Delta,t+\Delta)-f(t+\Delta,t)}{\Delta} + \frac {f(t+\Delta,t)-f(t,t)}{\Delta} \right) = \lim_{\Delta \to 0} \frac{\partial f}{\partial s}(t+\Delta,t+\alpha(\Delta) \cdot \Delta) + \lim_{\Delta \to 0} \frac{\partial f}{\partial t}(t+\beta(\Delta) \cdot \Delta,t) = \frac{\partial f}{\partial s} (t,t) + \frac{\partial f}{\partial t} (t,t)$

( $0 \le \alpha(\Delta), \beta(\Delta) \le 1$ teorema del valor medio de Lagrange)

Answer 1

En pocas palabras: La falta de suavidad en la diagonal es inevitable, pero es el único obstáculo. (La segunda parte la añadí mucho más tarde).

Singularidad diagonal

No es posible tener una métrica lisa. La falta de suavidad en la diagonal es inevitable. De hecho, cualquier semimétrica suave es cero siempre que los dos puntos estén en la misma componente conexa.

Supongamos que tenemos una métrica sobre un colector $M$ . Tomar una curva suave $\gamma:(-1,1)\to M$ con $\gamma'\neq0$ . Consideremos la función $f(t,s)=d(\gamma(t),\gamma(s))$ que ahora es suave.

Desde $$ \begin{split} 0 &= \frac{d}{dt}0 \\&= \frac{d}{dt}f(t,t) \\&= \partial_1f(t,t)+\partial_2f(t,t), \end{split} $$ tenemos $\partial_1f=-\partial_2f$ en la diagonal. Pero como $f(t,s)=f(s,t)$ también tenemos $\partial_1f=\partial_2f$ en la diagonal. Así, $\partial_1f(t,t)=\partial_2f(t,t)=0$ .

Esto implica que $f(t,s)\leq C(t-s)^2$ para alguna constante $C$ para todos $t,s\in[-1/2,1/2]$ . Elige cualquier número $a\in[0,\frac12]$ y un número entero grande $N$ y observar que por desigualdad triangular $$ \begin{split} f(0,a) &\leq f(0,\frac{a}{N})+f(\frac{a}{N},\frac{2a}{N})+\dots+f(\frac{(N-1)a}{N},a) \\&\leq NC\left(\frac aN\right)^2 \\&= \frac{Ca^2}{N}. \end{split} $$ Esto es válido para cualquier $N$ Así que, de hecho $f(0,a)=0$ . Esto implica que mientras $x,y\in M$ están en la misma componente conexa, deben satisfacer $d(x,y)=0$ .

De hecho, este argumento sirve para cualquier $C^{1,\alpha}$ semimétrico para $\alpha>0$ (un cálculo similar conduce a una estimación $f(0,a)\lesssim N^{-\alpha}$ ), y supongo que la afirmación es cierta para $C^1$ También.

Regularidad no diagonal

Para cualquier variedad diferenciable $M$ existe una métrica $d\colon M\times M\to\mathbb R$ que es suave en todas partes fuera de la diagonal y da la topología habitual de $M$ . Esto se basa en dos observaciones:

• Existe una métrica riemanniana $g$ en $M$ con radio de inyectividad al menos uno. (Si no me equivoco, esto es posible al menos en las variedades compactas. En variedades no compactas uno debería ser capaz de empezar con cualquier métrica y multiplicarla con un factor conforme que varíe lentamente para forzar radios de inyectividad por encima de uno en todas partes).
• Existe una función cóncava suave $\phi\colon[0,\infty)\to[0,\infty]$ para que $\phi(0)=0$ y $\phi(x)=1$ para $x\geq1$ .

Ahora bien $d_g$ es la función de distancia de $g$ la métrica $d(x,y)=\phi(d_g(x,y))$ es suave fuera de la diagonal. La distancia desde $x$ a puntos cercanos es suave (excepto en $x$ ) dentro del radio de inyectividad. Fuera de ese radio $d_g$ puede ser singular, pero $\phi$ es constante a esa escala, eliminando todas las singularidades de $d$ . La composición de una métrica y una función cóncava es siempre una métrica. De los supuestos se deduce que $\phi$ es un difeomorfismo bi-Lipschitz estrictamente creciente en alguna vecindad de cero, y por tanto $d$ y $d_g$ dan las mismas topologías. Cualquier métrica riemanniana da la topología original del colector.

La métrica $d$ no es lisa en la diagonal, pero su cuadrado $d^2$ es suave en todas partes.