Igor ya ha respondido a las preguntas 1 y 2.
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Lo que Nash escribió es un intento de describir a un público no experto el esquema de solución que tenía para no -compactos. En el caso no compacto procede mediante un proceso de reducción al caso compacto. El proceso consiste en descomponer la variedad en vecindades más pequeñas, cada una de las cuales es difeomorfa a discos/bolas.
A grandes rasgos, Nash tomó entonces una partición de la unidad adaptada a este sistema de vecindades, y la utilizó para truncar la métrica riemanniana en la variedad original a estos discos. Ahora, los objetos truncados ya no son métricas riemannianas (ya que no son definidas positivas en todas partes); pero como el problema no es realmente el de la geometría sino el de las EDP en este entorno, esto no es un obstáculo.
Cuando dos vecindarios se superponen, la función de corte es menor que 1 para ambas piezas. Así que cada uno de los barrios hereda "una parte de la métrica".
En otras palabras, la frase por la que preguntas es simplemente Nash tratando de describir la idea de una "partición de la unidad" sin usar exactamente esas palabras.
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Esto se refiere a la segunda parte del esquema. Después de dividir en discos y llevar la cuenta de sus solapamientos (utilizando lo que Nash llamaba "clases"; ése es también el sentido de la palabra en el mensaje de Solovay), es posible (a grandes rasgos) sustituir los discos por esferas. Se hace esto utilizando que los discos pueden identificarse topológicamente con la esfera con un disco cerrado eliminado, y que la "porción de la métrica" en el disco se corta de manera que se aproxima a 0 suavemente en la frontera. Esto es, en gran medida, jugar con las funciones de corte.
Ahora, cada esfera tiene una incrustación isométrica en algún espacio euclidiano por el teorema para las variedades compactas (demostrado anteriormente en el documento). Por lo tanto, lo único que queda es volver a ensamblar de alguna manera todas estas esferas en un espacio euclidiano más grande, garantizando al mismo tiempo que no haya auto-intersecciones.
(Observación: el método de montaje funciona. Punto y aparte. Por lo tanto, si está contento con una inmersión isométrica, ya está hecho. El problema que señaló Solovay tiene que ver con la parte de incrustación (no autointersección)).
El método de montaje es algo así.
a. La elección de los discos anterior significa que los discos se pueden dividir en algunas clases finitas, tales que dos discos de la misma clase no pueden intersecarse.
b. Para cada clase, construya un mapa suave de $M$ tal que los puntos dentro de los discos de esa clase son enviados a la imagen de la incrustación de la esfera correspondiente. Pero los puntos fuera de los discos de esa clase se envían al origen.
c. Tomar el producto cartesiano sobre las clases. Esto garantiza una inmersión.
Para conseguir la no auto-intersección Nash trató de explotar el hecho de que su teorema de incrustación isométrica en el caso compacto permite exprimir la variedad en vecindades arbitrariamente pequeñas. Así, dentro de cada clase, puede hacer que los diferentes discos estén casi incrustados de forma disjunta. Afirma que esto es suficiente. Solovay demostró que hay un agujero en el argumento. Ver debajo del corte para más información.
Por cierto, el documento de Nash está disponible aquí La parte que se refiere a las preguntas 3 y 4 se encuentra en la parte D, que está decididamente en la parte "fácil" del documento. (Todo el material analítico difícil se encuentra en la parte B; aquí se trata esencialmente de combinatoria).
Para revelar el "problema lógico" de la prueba de incrustación, eliminamos todas las partes innecesarias de la prueba y nos centramos en el argumento que "garantiza" la no autointersección. Esto opera completamente en el nivel de los conjuntos y no requiere ninguna geometría o análisis.
Lo que hizo Nash se reduce a:
Dado un conjunto $M$ demostró que podemos descomponer $M$ como la unión de un grupo de conjuntos $U^{(i)}_j$ . El índice $i$ corre de $1, \ldots, n+1$ (un número finito). El índice $j$ puede ser infinito. Cada $U^{(i)}_j$ tiene un subconjunto dentro llamado $V^{(i)}_j$ y la unión de todos estos subconjuntos $V^{(i)}_j$ también se supone que cubre $M$ .
Para cada $i$ Nash encuentra un espacio $X^{(i)}$ y un punto $x^{(i)}\in X^{(i)}$ y para cada $j$ existe un mapeo inyectivo $\psi^{(i)}_j: U^{(i)}_j \to X^{(i)}\setminus \{x^{(i)}\}$ . Desde $U^{(i)}_j$ y $U^{(i)}_k$ no se cruzan a menos que $j = k$ para cada $i$ podemos ampliarlo a un mapa
$$ \psi^{(i)}: M \to X^{(i)}$$
exigiendo
$$ \psi^{(i)}(p) = \begin{cases} \psi^{(i)}_j(p), &p\in U^{(i)}_j \\ x^{(i)}, &\text{otherwise}\end{cases} $$
Dejemos que $X = X^{(1)} \times X^{(2)} \cdots \times X^{(n+1)}$ . Nos interesa el mapa $$ \psi: M \to X = \psi^{(1)}\times \psi^{(2)}\times \cdots \times \psi^{(n+1)}.$$
Queremos demostrar que $\psi$ es inyectiva.
La idea de Nash:
Podemos suponer que $\psi^{(i)}(V^{(i)}_j) \cap \psi^{(i)}(U^{(i)}_k) = \emptyset$ si $k > j$ . (Esto lo consigue gracias a que la incrustación isométrica puede "hacerse pequeña").
Afirma que esto es suficiente para demostrar la inyectividad de $\psi$ Porque..:
- Si $p,q\in U^{(i)}_j$ para el mismo $i,j$ Entonces hemos terminado porque $\psi^{(i)}_j$ es por construcción inyectiva.
- Si $p \in U^{(i)}_j$ y $q \not\in U^{(i)}_k$ para cualquier $k$ Entonces sabemos que $\psi^{(i)}(p) \neq x^{(i)} = \psi^{(i)}(q)$ por la construcción, y así hemos terminado.
- Así que la principal preocupación es que $p\in U^{(i)}_j$ y $q \in U^{(i)}_k$ para algunos diferentes $j,k$ . Para tratar esto, Nash argumentó así (parafraseo)
Desde el $V$ de la portada $M$ , $p$ es en algunos $V^{(i)}_j$ y de manera similar $q$ . Así que, o bien $q$ no pertenece a ningún $U^{(i)}_*$ en cuyo caso hemos terminado por el punto 2, o $q$ pertenece a algún $U^{(i)}_k$ . Si $k > j$ por la idea de Nash sus imágenes son disjuntas, por lo que obtenemos la inyectividad. Si $k = j$ hemos terminado por el punto 1. Si $k < j$ nosotros intercambiar los papeles de $p$ y $q$ .
La frase en negrita no figuraba como tal en el documento original de Nash, pero era su intención. Sin embargo, expresada de esta forma, queda claro cuál es el problema: en el argumento $p$ y $q$ ¡no es simétrico! No se puede simplemente intercambiar los papeles de $p$ y $q$ . Podría darse el caso de que $q \in U^{(i)}_k \setminus V^{(i)}_k$ y luego la idea de hacer las imágenes de $U^{(i)}_*$ "casi disjuntos" no aporta nada útil.
El mensaje de Solovay ejemplifica esta observación al establecer una situación en la que
$$ p \in (U^{(1)}_1 \setminus V^{(1)}_1) \cap V^{(2)}_2 $$
y
$$ q \in (U^{(2)}_1 \setminus V^{(2)}_1) \cap V^{(1)}_2 $$
y ambos no en cualquier otro $U^{(i)}_j$ .
Así que en términos del giro de la frase que usó Nash:
"puntos suficientemente locales a cualquier punto" == tomamos $p \in U^{(i)}_j$ y $q \in U^{(k)}_l$ (están en los barrios de algún punto)
"se extendió y diferenció perfectamente" == el mapa $\psi(p) \neq \psi(q)$ (es inyectivo; "diferenciado" en el sentido de "distinguir")
"si tomas puntos lo suficientemente cerca de un punto" == si $i = k$ y $j = l$ (en el mismo barrio)
"pero para dos puntos diferentes puede ocurrir que se mapeen en el mismo punto". == la inyectividad puede fallar en caso contrario.
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Por favor, añade un enlace a la pregunta de Math.SE, y asegúrate de que tiene un enlace aquí. La gente se molesta mucho si pasa mucho tiempo escribiendo una respuesta en un sitio, sólo para descubrir que ya hay una respuesta similar en el otro. Además, creo que la mayoría de la gente prefiere que se espere más de un par de días antes de hacer un crossposting; tal vez una semana.
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Las preguntas 1 y 2 son cuestiones básicas sobre las dimensiones mínimas para la incrustación y la suavidad de los mapas de incrustación. Deberían poder responderse consultando la Wikipedia. La pregunta 3 parece estar relacionada con la estrategia de la prueba, es decir, probar las cosas localmente y luego Parcheando juntos en algunos aspectos: esto requiere un poco más de familiaridad con los documentos en cuestión. En cuanto a la pregunta 4, la declaración no tiene mucho sentido para mí sin sentarse y tratar de nuez a cabo: esto sería bueno para aclarar.