son los cocientes por las relaciones de equivalencia "mejor" que surjections?

Question

Esto podría ser un montón de viejas tonterías.

Siempre he tenido en mi cabeza que si $f:X\to Y$ es una inyección, a continuación, $f$ tiene algún tipo de "factorización canónica" como un bijection $X\to f(X)$ seguido por una inclusión de $f(X)\subseteq Y$. Del mismo modo, si $g:X\to Y$ es un surjection, y si tenemos que definir una relación de equivalencia en $X$ por $a\sim b\iff g(a)=g(b)$ y deje $Q$ el conjunto de clases de equivalencia, a continuación, $g$ tiene un "canónica de la factorización de" como un cociente $X\to Q$ seguido por un bijection $Q\to B$. Además siempre tuve la sospecha de que estos dos "canónica" factorizations fueron en cierto modo dual para cada uno de los otros.

He mencionado esto en pasar a una habitación llena de inteligentes que los estudiantes de pregrado de la actualidad y uno de ellos me llamó para arriba en él después, y me doy cuenta de que no se pudo conectar cualquier significado real de lo que acabo de decir anteriormente. Yo medio se preguntó si subobjeto de los clasificadores podría tener algo que ver con él, pero después de haber visto la definición no estoy tan seguro de que la ayudan en todo.

Son inclusiones de alguna manera mejor que la arbitraria inyecciones? (en mi mente que siempre ha sido el "mejor tipo de inyecciones" de alguna manera). Se asigna a los conjuntos de clases de equivalencia de alguna manera mejor que la arbitraria cocientes? No puedo dejar de pensar que puede haber algo en estas ideas, pero no estoy seguro de que tengo la lengua para expresarse. Tal vez estoy equivocado, o tal vez hay algunos ncatlab página en algún lugar que me explique lo que estoy tratando de formalizar aquí.

Answer 1

Son inclusiones de alguna manera mejor que la arbitraria inyecciones? Se asigna a los conjuntos de clases de equivalencia de alguna manera mejor que la arbitraria cocientes?

Esta es una simple respuesta, pero yo diría que sí, porque hay una clase adecuada de las distintas inyecciones en $Y$ --- la inyección de establecer $X$ puede vivir en cualquier lugar en el conjunto de la teoría del universo --- mientras que las inclusiones en $Y$ son efectivamente sólo subconjuntos de $Y$. En virtud de la natural de la noción de equivalencia para las inyecciones, los distintos subconjuntos dar no equivalentes inyecciones, por lo que se podría decir que va desde las inyecciones de inclusiones es una cuestión de seleccionar uno de los distinguidos, canónica elemento de cada clase de equivalencia de las inyecciones.

Yo diría que las inyecciones en $Y$ son clasificados por los subconjuntos de $Y$, y del mismo modo los cocientes de $X$ son clasificados por las relaciones de equivalencia en $X$.

Answer 2

Parece que tienes factorización de mapas de la cubierta, así que permítanme abordar la cuestión de por qué canónica cociente de mapas y canónica inclusiones son "mejores".

Dado un conjunto $X$, en general hay una buena clase de inyecciones $Y \to X$. Sin embargo, muchos de estos son isomorfos, donde las inyecciones $i : Y \to X$ e $j : Z \to X$ son isomorfos si existe un isomorfismo $k : Y \to Z$ tal que $i = j \circ k$. El isomorfismo clases de inyecciones en $X$ son los subobjetos de $X$. De hecho, no sólo se ponen en muchos de los subobjetos de $X$ (en la categoría de la teoría de la lengua, define la forma de un bien alimentado categoría). Es molesto trabajar con muchos adecuado de clases de equivalencia, así que en lugar de buscar un conjunto de $P(X)$ de las inyecciones en $X$, uno de cada isomorfismo de clase. Podemos, además, requieren de algunas buenas propiedades de, por ejemplo, si $i : X \to Y$ es de $P(Y)$ e $j : Y \to Z$ es de $P(Y)$, sería de esperar que $j \circ i : X \to Z$ a en $P(Z)$. Uno puede venir para arriba con una lista de deseos de tan bonito cierre de condiciones, aquí hay otra: si $i : Y \to X$ e $j : Z \to X$ están en $P(X)$, y existe la (única) $k : X \to Z$ tal que $i = j \circ k$, a continuación, $k$ es de $P(Z)$.

Sabemos la respuesta, por supuesto, acaba de tomar $P(X)$ a ser el canónica subconjunto inclusiones en $X$. Esta no es la única elección de representante de inclusiones, pero es una idea bastante buena.

Por consiguiente, se puede decir que la canónica inclusiones de subconjuntos son "mejores" porque son de la canónica de representantes de subobjetos (clases de equivalencia de las inyecciones).

La respuesta para el cociente de mapas y surjections es doble. Considere la posibilidad de clases de equivalencia de surjections, quotiented por isomorfismo. No sólo se ponen en muchas de estas clases, por lo tanto, establece la forma de un bien copowered categoría. (Algunas personas dicen "cowell-powered" pero entonces, ¿por qué no lo llaman "mal alimentado"?) Esta vez buscamos un conjunto $Q(X)$ de surjections de $X$, representando cada uno de equivalencia de la clase de surjections de $X$. Podemos tomar la $Q(X)$ a ser el conjunto de todos los canónica cociente mapas de $X \to X/{\sim}$, o sólo el conjunto de todas las relaciones de equivalencia en $X$. Una vez más, canónica cociente mapas son "mejores" porque ellos son los distinguidos representantes de isomorfismo clases de surjections.

Answer 3

El nLab la página que buscas se llama factorización de sistemas. Aquí está mi favorito, que creo que responde a tu pregunta. En cualquier categoría con límites finitos y colimits, todos los morfismos $f : X \to Y$ tiene una factorización canónica

$$X \to \text{coim}(f) \to \text{im}(f) \to Y$$

donde $\text{im}(f)$, la imagen regular, es el ecualizador de la cokernel par de $f$ (este es el "nonabelian", versión de "núcleo de la cokernel") y $\text{coim}(f)$, regular coimage, es el coequalizer del kernel par de $f$ (de nuevo, el "nonabelian", versión de "cokernel del núcleo"). Estas dos construcciones son categóricamente doble y así, entre otras cosas, la coimage-imagen de la factorización de $f$ en el opuesto de la categoría es la misma secuencia de mapas, pero en el orden contrario.

En $\text{Set}$, el coimage y la imagen son a la vez la imagen de una función en el sentido habitual, pero calculada en diferentes formas, que creo que coincide con la distinción que usted está consiguiendo en. $\text{coim}(f)$ se calcula, más o menos, por la construcción de la relación de equivalencia en $X$ definido por $x_1 \sim x_2 \Leftrightarrow f(x_1) = f(x_2)$, luego quotienting $X$ por ella. $\text{im}(f)$ es calculada en un categóricamente doble vía, aunque se ve un poco extraño al principio: la primera por la construcción de la pushout $Y \sqcup_X Y$, luego de aislar el subconjunto de $Y$ de los elementos que se envían en el mismo elemento por tanto de la canónica de mapas de $Y \to Y \sqcup_X Y$.

En particular, el de la factorización de la que usted desea para una inyección es la imagen regular de la factorización, y el de la factorización de la que usted desea para una surjection es el regular coimage factorización, por lo que son, de hecho, categóricamente dual. El pleno coimage-imagen de la factorización combina estos.

Es un trivial teorema de que el mapa de $\text{coim}(f) \to \text{im}(f)$ es un isomorfismo en $\text{Set}$. También es un isomorfismo en cualquier abelian categoría y en $\text{Grp}$ (este es un resumen del primer teorema de isomorfismo), pero en general es apenas tanto un monomorphism y un epimorphism. Muy instructiva ejemplo es $\text{Top}$, donde $\text{coim}(f)$ es el conjunto de la teoría de la imagen topologized como un cociente de $X$, e $\text{im}(f)$ es el conjunto de la teoría de la imagen topologized como un subespacio de $Y$. (Tenga en cuenta que estos coinciden compacto Hausdorff espacios!)

Answer 4

Andrej la respuesta es buena para explicar "lo que es especial" acerca de las inyecciones y cocientes. En términos de la formalización de la noción de "subconjunto de la inclusión", David Roberts ya se ha mencionado en un comentario el concepto de M-categoría, que podría ser utilizado para representar a "la categoría de $\mathrm{Set}$ junto con la información acerca de que las inyecciones de inclusiones" (o que surjections son cocientes).

Otro de formalización que se adaptan específicamente a la "inclusión" de las subcategorías se llama (muy apropiadamente) un sistema de inclusiones (con mejoras que añadir adjetivos tales como "dirigida" y "estructural"); fue introducido en este papel por Awodey, Butz, Simpson, y Streicher. Uno podría presumiblemente dualize esto de alguna manera para obtener una noción de "sistema de cocientes". Tenga en cuenta que un sistema de inclusiones es un tipo particular de M-categoría.

Como se ha señalado, cuando la categoría de ${\rm Set}$ se trata "puramente categoría-en teoría" no "aviso" que las inyecciones de inclusiones, es decir, esta información no se transfiere de manera útil a través de una equivalencia de categorías. Un M-categoría es una forma de definir una "categoría de la teoría de la" estructura " (es decir, un cierto tipo de enriquecido categoría) que, sin embargo, puede llevar a este tipo de información.

Answer 5

"Son inclusiones de alguna manera mejor que la arbitraria inyecciones?"

No, no lo son.
Cualquier cosa que se puede decir de el, que se puede decir de los otros.

En particular: Dado $X$, hay un conjunto de inclusiones en $X$. Y hay un gran groupoid equivalente a una serie de inyecciones en $X$. Para todos los efectos prácticos, estos son la misma cosa. Por lo tanto deben ser tratados de la misma cosa.

Son cociente de mapas de alguna manera mejor que la arbitraria surjections?

De nuevo no.
La misma historia.

El hecho de que podemos hablar de inclusiones frente a las inyecciones es un artefacto de nuestro conjunto teórico fundamentos de la matemática. Sería mejor utilizar un lenguaje que no permite que nos pregunten si dos conjuntos son iguales, y sólo nos permite hablar de la isomorphisms entre conjuntos.
En gran parte ya de hacer esto en la práctica. Cuando escribimos $\mathbb Z \subset \mathbb Q$, no nos detenemos a explicar que los elementos de la $\mathbb Q$ se definen como los pares de elementos de $\mathbb Z$, y no se distingue entre $\mathbb Z$ y su imagen en $\mathbb Q$. Acabamos de escribir $\mathbb Z \subset \mathbb Q$.

Por desgracia, no estoy bien informado lo suficiente en cuestiones fundamentales para dar sentido a la noción de "un lenguaje que no permite preguntar si dos conjuntos son iguales, y que sólo permite hablar de isomorphisms". Pero estoy seguro de que tal cosa existe (y que puede ser modificado a fin de ser exactamente igual de potente como ZFC).