Raíces primitivas

Question

Si la conjetura de Artin sobre las raíces primitivas es cierta, entonces 2 genera $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ para infinitos primos $p$ . ¿Se puede demostrar al menos que $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ es generado por 2 y 3 para infinitos primos $p$ ?

Answer 1

Creo que la mejor aproximación se debe a Heath-Brown (Quart. J. Math. Oxford Ser. 37, 27-38.): para infinitos primos p, uno de 2,3,5 es una raíz primitiva mod p.

En realidad el teorema de Heath-Brown funciona para tres primos cualesquiera en lugar de 2,3,5. Puedes encontrar su artículo en línea aquí (alabado sea Google).

Answer 2

Esta es una pregunta interesante. En general, la gente ha considerado lo siguiente. Dejemos que $\Gamma$ sea un subgrupo de $\mathbf{Q}^*$ generado por $r$ primos. ¿Qué se puede decir de $$ N_\Gamma(X)=|\{p < X : \Gamma \bmod p \textrm{ generates } (\mathbf{Z}/p \mathbf{Z})^{\times}\}|. $$

También existe un análogo elíptico natural. Así, dejemos que $E/\mathbf{Q}$ sea una curva elíptica y que $\Gamma\subset E(\mathbf{Q})$ sea un subgrupo de rango $r$ . Entonces podemos considerar $$ N_\Gamma(X)=|\{p < X : \Gamma \bmod p \textrm{ generates } E(\mathbf{Z}/p \mathbf{Z})\}|. $$ Gupta y Murty ofrecen una serie de resultados, tanto condicionales como incondicionales, en su artículo Primitive points on elliptic curves, Compositio Math. 58 (1986), 13-44. Por ejemplo, si $r\ge6$ y $E$ tiene multiplicación compleja, entonces demuestran incondicionalmente que $N_\Gamma(X)\gg X/(\log X)^2$ . En el caso no-CM, asumiendo la GRH, demuestran que si $r\ge18$ entonces $N_\Gamma(X)\gg X/(\log X)$ .

Sería interesante investigar cuestiones similares en grupos algebraicos de mayor dimensión, ya sean variedades abelianas de dimensión $\ge2$ o incluso en $(\mathbf{Q})^{\times}\times(\mathbf{Q})^{\times}\times\cdots\times(\mathbf{Q})^{\times}$ .

Answer 3

Esto es sólo un comentario, pero soy incapaz de hacerlo, así que lo pongo como respuesta:

$2^{11} \equiv 3^{11} \equiv 11 \, \mod 23$ .

Y una situación similar ocurre con otros primos:

$47, 71, 73, 97, 167, 191, 193, 239, 241, 263, 307, 311, 313, ...$

aunque no siempre con $ord_{p}(2)=ord_{p}(3)=\frac{p-1}{2}$ .