Deje $B_{2g+1}$ ser el Artin trenza grupo en $2g+1$ hebras. Hay un simpléctica representación
$\rho: B_{2g+1} \rightarrow Sp_{2g}(\mathbf{Z})$
llamado el "hyperelliptic representación", que puede ser descrito como sigue. La trenza de grupo es el grupo fundamental del espacio de moduli de configuraciones de 2g+1 puntos en el disco; cada configuración le da género-g doble de superficie que cubre el disco, se ramificó en aquellos 2g+1 puntos y en el límite; la representación es la habitual monodromy acción de grupo fundamental en la homología de la fibra.
Alternativamente, podemos pensar de $\rho$ como la especialización de la Burau representación a $t=-1$.
Por otro lado, dentro de $B_{2g+1}$ hay un "punto de empujar subgrupo" H -- esto puede ser pensado como el grupo de trenzas en la que la primera $2g$ líneas a permanecer fijo en el lugar, mientras que el último capítulo es permitido el viento alrededor de los demás. El grupo es, pues, naturalmente, identificado con el grupo fundamental de un disco con 2g pinchazos. Es un subgrupo de la pureza de la trenza de grupo, y es el núcleo de la Birman secuencia exacta.
Pregunta: ¿Cuál es la imagen de $\rho(H)$ de las punto-empujando subgrupo en el hyperelliptic representación?
La imagen de la pura trenza grupo en $\rho$ es la congruencia de los subgrupos $\Gamma(2)$, lo $\rho(H)$ es un subgrupo de eso. Es conocido por ser Zariski densa. Es $\rho(H)$ todos $\Gamma(2)$? Es por lo menos finito índice?
Actualización: OK, esto es un poco embarazoso, hice esta pregunta porque pensé que una instrucción equivalente a la que se había demostrado en un manuscrito inédito de J-K-Yu, pero cuando miré de nuevo en el ms. Yo, sin embargo, fue sólo de probar algo más débil. Pero ahora veo que Yu hizo probar esto, después de todo! Sin embargo, estoy muy feliz de saber cómo hacerlo de la manera que Agol se explica a continuación.
