Deje $K$ ser un campo numérico con la forma de base $\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$. La variedad afín $A_K$ definido por $$ N_{K/{\mathbb Q}}(X_1 \omega_1 + \ldots + X_n \omega_n) = 1 $$ es una expresión algebraica de grupo, la estructura del grupo viene de la multiplicación de las unidades con la norma $1$; de hecho, $A_K$ es una norma-1 toro. Por pura cúbicos extensiones ${\mathbb Q}(\sqrt[3]{m})$ con $m \not \equiv \pm 1 \bmod 9$, la unidad en la variedad está definido por $$ X_1^3 + mX_2^3 + m^2X_3^2 - 3mX_1X_2X_3 = 1, $$ por ejemplo.
Los afín a parte de la variedad $A_K$ es suave; el afín parte de su la reducción del modulo $p$ es suave si y sólo si $p \nmid \Delta$, donde $\Delta$ denota el discriminante de $K$.
Para cada uno de los prime $p \nmid \Delta$ deje $N_r$ denotar el número de ${\mathbb F}_q$-puntos racionales en $A_K$ donde $q = p^r$. Definir el Hasse-Weil función zeta $$ Z_p(T) = \exp\bigg( \sum_{r=1}^\infty N_r \frac{T^r}r \bigg). $$ Esta función zeta tiene las siguientes propiedades:
La función zeta $Z_p(T)$ es una función racional de $T$; los grados de numerador y denominador son iguales. Más exactamente, $Z_p(T)$ puede ser escrito en la forma $$ Z_p(T) = \begin{cases} \frac{P_0(T) P_2(T) \cdots P_{n-1}(T)}{P_1(T)P_3(T) \cdots P_{n}(T)} & \text{ if %#%#% is odd}, \\\ \frac{P_1(T)P_3(T) \cdots P_{n-1}(T)}{P_0(T) P_2(T) \cdots P_{n}(T)} & \text{ if %#%#% is even}, \end{casos} $$ donde $n$ es un producto de términos de la forma $n$ para el adecuado raíces de la unidad $P_j(T)$. Los factores reales $1 - \zeta p^{j}T$ esencialmente solo depende de el primer ideal de la factorización de $\zeta$ en $P_j(T)$.
Por otra parte, $p$ existe y satisface $K$ donde $Z_p(\infty) = \lim_{T \to \infty} Z_p(T)$ para Pell cónicas (unidad de variedades para cuadrática extensiones) y $Z_p(\infty) = \epsilon_p$ en general.
La función zeta $\epsilon_p = \chi(p)/p$ admite un funcional de la ecuación de la forma $\epsilon_p = \pm 1$$ para algunas constantes $Z_p(T)$, dependiendo únicamente de la $$ Z_p\Big(\epsilon_p \frac1{p^nT}\Big) = \eta_p Z_p(T)^{(-1)^n} $.
El global de la función zeta $\eta_p$ está construido de la siguiente manera: conjunto de $p$ e $Z_K(s)$. Entonces, hasta a Euler factores en la ramificado, primos, $L_p(s) = P_{n-1}(p^{-s})$, donde $Z(s) = \prod_p L_p(s)$ es el Dedekind zeta función de $Z(s) = \zeta_K(s+n-2)/\zeta(s+n-2)$.
Mi impresión es que en el caso de Pell cónicas es ligeramente diferente de la el caso general, porque Pell cónicas son suaves, incluso en el infinito.
Me doy cuenta de que casi cualquiera de los resultados en la norma-1 tori obtenidos en la última 30 años, y mi pregunta principal es:
Esto es un caso especial de los resultados conocidos sobre algebraicas tori, y si sí, ¿cuáles son las referencias pertinentes?
Por CIERTO, la racionalidad y la funcional de la ecuación parece ser conoce de forma muy general las situaciones. De modo más preciso con la pregunta sería si estas unidades de variedades han recibido ninguna atención especial.
