Es esta una prueba válida de que la serie armónica diverge?

Question

Es esta una prueba válida de que la serie armónica diverge?

1. Suponga que la serie converge a un valor de S:

$$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$$

2. Dividir la serie en dos, con la alternancia de pares e impares denominadores. Desde la original de la serie converge, el componente de la serie convergerá.

$$S_{EVEN}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+...$$ $$S_{ODD}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...$$ $$S=S_{EVEN}+S_{ODD}$$

3. Mostrar que $S_{EVEN}=\frac{1}{2}S$

$$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+...=S_{EVEN}$$

4. Espectáculo $S_{ODD}>S_{EVEN}$ debido a que cada extraño término es mayor que su correspondiente incluso término: $$1>\frac{1}{2}\qquad \frac{1}{3}>\frac{1}{4}\qquad \frac{1}{5}>\frac{1}{6}\qquad ...$$

5. Espectáculo $S_{ODD}=S_{EVEN}$ $$S_{ODD}=S-S_{EVEN}=S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}S=S_{EVEN}$$

6. La contradicción implica que la hipótesis original de convergencia es falsa:

$$S_{ODD}>S_{EVEN}$$ $$S_{ODD}=S_{EVEN}$$ $$\therefore S\ne 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$$

Answer 1

Esto es casi válido. Necesitamos justificar el segundo paso, como se ha mencionado por Ross Millikan, ya que no siempre es válido para dividir una serie en sus pares e impares términos.

Tomar, como un simple ejemplo, la alternancia serie armónica, donde conseguiría igualando $\infty-\infty$ que es indeterminado, pero no tiene sentido para la convergencia de una serie indeterminada.

Esto puede ser justificado por ver tu serie es absolutamente convergente, suponiendo que converge.

Si uno debe ser pedante, el mismo problema se produce demostrando $S_\mathrm{ODD}>S_\mathrm{EVEN}$, pero esto puede ser más fácilmente justificable por el hecho de que estamos comparando términos en el orden en que se suman. Si no se comparan en la presente orden y sus respectivos serie condicionalmente convergente, esto no puede ser verdad.

Aparte de todo lo que se ve bien. Si me pueden proporcionar una alternativa a prueba de enfoque similar, lo que hubiera bastado que han demostrado que

$$S=1+\frac12+\frac13+\frac14+\dots>\frac12+\frac12+\frac14+\frac14+\dots=S$$

Answer 2

Reordenamiento requiere el conocimiento de convergencia absoluta. Cuando escribí mi prueba y que fue publicado hace 23 años, que fue el comentario añadido. Aparte de eso, su prueba es absolutamente idéntica a la mía. Aquí está la referencia:

Michael W. Ecker, Divergencia De La Serie Armónica Por Reordenamiento, El Colegio De Matemáticas De Diario, De Mayo De 1997, Vol. 28, N ° 3, pág. 209-210.

Varios años más tarde, Bernard agosto y Thomas Osler citado este y generalizar este método en el Mayo de 2002 de La facultad de Matemáticas de la Revista, p. 233-234. Si la memoria sirve, que aplicado a otros de la serie p, pero no tengo problema en frente de mí.