Necesito un pequeño empujón para que el acabado de la última parte de este problema.
Express $\lambda \sin \theta + (1 - \lambda) \cos \theta$ en la forma $R \sin (\theta + \phi)$ donde $R(R>0)$ $\tan \phi$ se da en términos de $\lambda$.
Escriba una expresión en términos de $\lambda$ para el valor mínimo de $\lambda \sin \theta + (1 - \lambda) \cos \theta$ $\theta$ varía.
Muestran que, para todos los $\lambda$, este mínimo es menor o igual a $-\dfrac{1}{\sqrt 2}$.
La primera parte de las necesidades de expansión como el $a\cos x + b\sin x$ fórmula.
Vamos, $$ \begin{align} \lambda \sin \theta + (1 - \lambda) \cos \theta &\equiv R \sin (\theta + \phi) \\ &\equiv R[\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi] \\ &\equiv (R \cos \phi)\sin \theta + (R \sin \phi) \cos \theta \\ &\equiv a \sin \theta + b \cos \theta \end{align} $$
Donde,
$a = R \cos \phi = \lambda$
$b = R \sin \phi = (1 - \lambda)$
$\tan \phi = \dfrac{b}{a} = \dfrac{1 - \lambda}{\lambda}$
$R = \sqrt {2\lambda^2 - 2\lambda + 1}$
Así, la expresión en términos de $\lambda$ es,
$$\sqrt {2\lambda^2 - 2\lambda + 1}\Big(\sin (\theta + \phi)\Big)$$
Desde $\sin$ tiene el mínimo valor de $-1$, el valor mínimo de la expresión es $-\sqrt {2\lambda^2 - 2\lambda + 1}$
Esto es lo más lejos que he conseguido. No entiendo el -$1/\sqrt 2$ parte? Pensé que puede ser la raíz de $\ge$ 0 ayudaría, y traté de problemas que cuadrática, pero no tiene raíces reales. Qué tiene que hacer para demostrar esto?
Gracias por su ayuda!
