Comprensión de la función zeta de regularización

Question

Asistí a una charla de esta mañana en Ray-Cantante de torsión, en la que Rafael Siejakowski introducido zeta función de la regularización de una manera convincente. El objetivo es definir el determinante de una positiva de sí mismo-adjoint operador $A$ con "pura punto de espectro" $0>\lambda_1>\lambda_2>\cdots$. La definición del determinante es $\exp(-\zeta_A^\prime(0))$ donde $\zeta_A$ es la función zeta $\zeta_A(s)=\sum_{i=1}^\infty (-\lambda_i)^{-s}$. Esta suma se bifurca en general - pero converge para valores de $s$ con lo suficientemente grande como la parte real, y definimos que para otros valores de $s$ (incluyendo el cero) por la continuación analítica.

¿Por qué debería ser relacionados con el determinante? Así, en el finito dimensionales caso (la motivación caso es al $A$ es la "combinatoria Laplaciano'), a continuación, $\zeta_A(s)=\sum_{i=1}^N (-\lambda_i)^{-s}$ es una suma finita. En este caso:

$\zeta^\prime_A(s)=\sum_{i=1}^N -\ln (-\lambda_i)(-\lambda_i)^{-s}$

y

$\zeta^\prime_A(0)=-\ln \prod_{i=1}^N(-\lambda_i)=-\ln \det A$.

Esta me parece una manera ad-hoc truco, lo que indica que no entiendo lo que está pasando realmente.

La ecuación de $\det(A)=\exp(-\zeta_A^\prime(0))$ (en el finito dimensionales caso de una ecuación, en el infinito dimensional caso de una definición) equivale a dos familiares matemática cantidades:

1. El determinante, que no puedo pensar como un volumen, como una acción en una mayor potencia exterior, o tal vez más evocatively como el firmado suma de los pesos de la no-caminos se cruzan en un gráfico entre "origen" vértices $a_1,\ldots,a_n$ y "receptor" de los vértices $b_1,\ldots,b_n$. Ver esta entrada del blog.
2. La Riemann zeta función, lo que no entiendo conceptualmente casi igual de bien, pero que está muy estudiado y así es claramente importante y natural.

Pregunta: ¿hay una conceptuales (mano-ondulado está bien) explicación de la función zeta de regularización, y de cómo esta expresión en el zeta función es capturar la idea de un "factor determinante"? Cómo es la derivación que escribí anteriormente más de una ad-hoc truco? Hay un sentido en el que la derivada de una función zeta a cero de forma heurística calcula firmada la suma de los pesos de la no-caminos se cruzan, o algo por el estilo?

Answer 1

Esta es una variante de Qiaochu del Yuan respuesta. Supongamos $A$ es algún tipo de operador diferencial. Entonces es difícil pensar en cosas como la traza y el determinante de la $A$. Pero hay una cantidad que se porta bien: es el "rastro de calor" $Tr(e^{tA})$. Por supuesto, el rastro de calor está conectado a la solución de la ecuación del calor $$\left(\frac{\partial}{\partial t} - A\right) u = 0.$$ Entonces, ¿cómo podemos llegar a los autovalores de $A$ si conocemos $Tr(e^{tA})$? Supongamos primero que $A$ es finito dimensionales. A continuación, $$Tr(e^{tA}) = \sum_i e^{t\lambda_i},$$ pero es un poco incómodo para extraer $\sum \log \lambda_i$ directamente de este. Pero si el enchufe en la identidad $$\lambda^s = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty e^{t \lambda} t^s \frac{dt}{t}$$ usted obtener

$$\zeta_A(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty Tr(e^{tA}) t^s \frac{dt}{t} \qquad \qquad (*)$$ y, a continuación,$\log \det A = \sum \log \lambda_i = -\zeta_A'(0)$. Así que, en cierto sentido, la función zeta es casi obligado si se quiere extraer el determinante de el rastro de calor.

Ahora si $A$ es un operador diferencial, entonces la ecuación (*) tiene sentido, pero no se pueden establecer directamente $s=0$ debido a que la integral diverge en el límite de $t=0$. Sin embargo, usando el bien conocido asymptotics de el rastro de calor como $t \to 0$, se puede restar el líder en términos de orden y, a continuación, el resto van a converger. Esto permite definir el determinante de $A$, y uno puede escribir una expresión que no implique la función zeta en todos, pero sólo el rastro de calor. En cierto sentido, esta es la verdadera definición matemática de det A. de lo Contrario, ¿cómo podemos saber que los zeta función tiene una continuación analítica a $s=0$?

Así que tal vez la función zeta de regularización es sólo una forma abreviada de este argumento. Uno puede decir que "continuación analítica de la función zeta" en lugar de especificar exactamente qué términos restar el rastro de calor.

Answer 2

No es una respuesta completa. En primer lugar, aquí es una alternativa de derivación del resultado en lo finito-dimensional caso, que podría ser más esclarecedor. Si $A$ es positiva de sí mismo-adjoint, podemos escribir $A = \exp(L)$ para algunos auto-adjoint $L$. Esto nos permite definir $$A^s = \exp(sL)$$

para todos los verdaderos $s$. La traza $$\text{tr}(A^s) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^s = \zeta_A(s)$$

es, entonces, el zeta función asociada a $A$ (estoy deshacerse de todos los signos menos). Ahora, para las pequeñas $\epsilon$ podemos escribir $$A^{s+\epsilon} = A^s A^{\epsilon} = A^s (1 + \epsilon L + O(\epsilon^2))$$

por lo que se deduce que $$\zeta_A(0)' = \text{tr}(L).$$

Pero la identidad de Jacobi $\det \exp M = \exp \text{tr } M$ da $$\det A = \det \exp L = \exp \text{tr } L = \exp \zeta_A(0)'$$

y llegamos a la conclusión.

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Entonces, ¿qué significado conceptual podemos adjuntar a la anterior? Bueno, me parece que debemos pensar en el mapa de $s \mapsto A^s$ como una representación de la Mentira de grupo $\mathbb{R}$, por lo que la función zeta es el carácter de la correspondiente representación. La derivada de la función zeta en cero le da la traza de el generador infinitesimal de esta representación, $L$, lo que genera la abelian Mentira álgebra $\mathbb{R}$. Y esto está conectado con el determinante de la $A$ por la identidad de Jacobi.

Así que creo que la mayoría de lo que necesita explicación es la identidad de Jacobi. Me admiten libremente que no tengo una buena explicación conceptual de la identidad de Jacobi (más allá del hecho de que es obvio para diagonalizable matrices). En estas dos entradas del blog he tratado de meandro hacia una combinatoria prueba de la identidad de Jacobi en el formulario $$\det (I - At)^{-1} = \exp \text{tr } \log (I - At)^{-1}$$

(donde $A$ fue la matriz de adyacencia de una gráfica), pero no bastante éxito. Hay una combinatoria prueba de Jacobi de la identidad en la literatura debido a Foata pero no he ido a través de él en detalle.

Answer 3

Aquí están algunas sugerencias, hasta que alguien con más conocimiento aparece.

1. ¿Por qué esta definición sentido: Continuación analítica es único, y por lo tanto, si hay continuación analítica de barrio de $0$, y la fórmula es válida en dimensión finita, entonces ¿por qué no tomarlo. Por desgracia, tenemos en general que $$\det (AB) \neq \det(A) \det(B).$$

2. ¿Por qué es posiblemente generalizar la teoría de la Riemann zeta función: Si usted toma el círculo con el operador de Laplace $-\frac{\partial^2}{\partial^2 x}$ a $L^2[0,1]$ tiene funciones propias $\exp(2 \pi inx)$ para $n \in \mathbb{Z}$, en realidad se va a obtener la Riemann zeta función como la espectral de la función zeta $\zeta_A(s) = 2 \zeta(2s)$.

3. ¿Por qué no: Ciertas propiedades no son compartidas por el general espectral de la función zeta. En general no hay funcional de la ecuación que relaciona la $\zeta_A(s)$ a $\zeta_A( D-s)$ para algunos $D$, y no hay ningún producto de Euler.

Pero aquí también es una cita de la página 20, de "Diez aplicaciones físicas de espectral zeta", las funciones de Elizalde, pg.20

En realidad, una definición universal para el determinante [...] que aún falta.

También la Cantante y Ray se refieren en http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870871900454 a Seeley http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg1=IID&s1=157950 , que ha demostrado la regularidad en $0$. Él tiene una buena fórmula de allí:

$$A^s=i/2π\int_{Γ} λ^s(A−λ)^{−1}dλ$$