Ampliación de vector de paquetes en un abrir subscheme

Question

Deje $U$ ser un denso abierto subscheme de un integrante del noetherian esquema de $X$ y deje $E$ ser un vector paquete en la $U$. Supongamos que la complementan $Y$ de % de $U$ ha codimension $\textrm{codim}(Y,X) \geq 2$. Deje $F$ ser un vector paquete en la $X$ extender $E$, es decir, $F|_{U} = E$.

Es cualquier extensión de $E$ a $X$ isomorfo a $F$?

Answer 1

Esto es cierto si $X$ satisface Serre la condición de $S_2$, es decir, $\mathcal O_X$ es $S_2$. Entonces un vector paquete es $S_2$ desde el nivel local es isomorfo a $\mathcal O_X^n$.

Más en general, una coherente gavilla $F$ en Japonés esquema (por ejemplo: $X$ es finito tipo a través de un campo) que es $S_2$ tiene una extensión única de abrir un subconjunto $U$ con $\operatorname{codim} (X\setminus U)\ge 2$. Esto se desprende de una vez desde la cohomological caracterización de $S_2$.

Por lo tanto, otro nombre para el $S_2$-poleas: son poleas que están saturados en codimension 2, y otro nombre para el $S_2$-ficación: saturación en codimension 2.

P. S. por supuesto, por Serre criterio, normal = $S_2+R_1$. Así que la declaración es verdadera para cualquier normal (por ejemplo, liso) variedad.

P. P. S. Y por supuesto, Gorenstein implica Cohen-Macaulay implica $S_2$. Así que la declaración es también cierto para hypersurfaces y completa de las intersecciones, lo cual puede ser muy singular y no reducido.

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Editar para definir algunos términos:

1. Un Japonés (o Nagata) anillo es un anillo obtenido a partir de un anillo de finitely generado más de un campo o $\mathbb Z$ opcionalmente se puede aplicar localizaciones y las terminaciones. La propiedad que se usa aquí es que para un Japonés anillo de $R$, integral, de cierre (normalización) $\tilde R$ es un finitely generadas $R$-módulo. Esto es importante porque el $S_2$-ficación $S_2(R)$ se encuentra entre $R$ e $\tilde R$.

2. Una coherente gavilla $F$ satisface $S_n$ si para cualquier punto de $x\in Supp(F)$, uno tiene $$depth_x (F) \ge \min(\dim_x Supp(F),n)$$ Si $F$ locales corresponde a un $R$-módulo de $M$, e $x$ a un alojamiento ideal $p$, entonces la profundidad es la longitud de la secuencia regular $(f_1,\dots, f_k)$ de los elementos de $R_p$ para $M_p$ (por lo tanto, $f_1$ es un nonzerodivisor en $M_p$, etc.).

Answer 2

Deje $i:U \to X$ ser la integración. Suponga que $i^*F = E$. A continuación, por la contigüidad tenemos un mapa de $F \to i_*E$ que es una incrustación, dado que el núcleo es cero en $U$, por lo que es una gavilla de torsión, y un vector paquete no tiene torsión subsheaves (si $X$ no han incorporado los componentes). Así, tenemos un triple exacto $0 \to F \to i_*E \to G \to 0$ para algunos $G$, que se apoya en $X \setminus U$. Si $X$ satisface y $codim_X (X\setminus U) \ge 2$, entonces (a condición de $S_2$ condición) tenemos $G^* = {\mathcal Ext}^1(G,O_X) = 0$, por lo que dualizing la secuencia podemos ver que $F^* = (i_* E)^\ast$, por lo tanto $F = (i_* E)^{\ast\ast}$, lo $F$ tiene que ser reflexivo sobre de $i_* E$. Esto demuestra la uniquencess. Esto también permite construir un ejemplo de un vector paquete en la $U$ que no se extiende a un vector paquete en la $X$.

Answer 3

Esto es falso, como se indica, por ejemplo, si $X$ se obtiene a partir de un proyectiva geométricamente conectado superficie lisa sobre un campo $k$ al pegar dos puntos juntos y $U$ es el complemento del punto singular, entonces el núcleo de el mapa de restricción desde el grupo de Picard de $X$ para el grupo de Picard de $U$ es fácilmente visto a $k^*$. Usted necesidad de asumir que la profundidad de todos los componentes del complemento de $U$ en $X$ es de al menos 2; a continuación, la declaración es correcta. Si $j\colon U \to X$ es la incorporación, a continuación,$j_*j^*F = F$.

Answer 4

Edit: El siguiente argumento no puede funcionar siempre, dado el contraejemplo de Angelo, pero a lo mejor funciona, si $X$ es suave? Edit2: Sí, este argumento debe trabajar para $W$ liso ("suave", como lo señaló en otra respuesta, un caso particular de "Serre S2").

La transición de las funciones de una extensión de $F$ de % de $E$ son morfismos en abierto (afín) subconjuntos $V$ de % de $X$ con valores en $GL_n$ donde $n=rank(F)$. Sus restricciones a$W:=V\cap U$, son la transición de las funciones de $E$. Así, el problema se reduce a demostrar que una de morfismos de una el complemento de un codimension $\geq 2$ subvariedad $Y$ de un cuasi-variedad afín $W$, con valores en $GL_n$, se extiende en más de una forma a toda la variedad $W$. Esto es cierto, ya que se puede asumir $W$ es un subconjunto del espacio afín, y cada componente $W-Y \rightarrow GL_n \hookrightarrow \mathbb{A}^{n\times n} \rightarrow \mathbb{A}^1$ es una función regular, y los polinomios de extender de forma exclusiva a través de codimension $\geq 2$ subvariedades. Por lo tanto, si usted tiene una extensión, tiene que ser único.