Isométrico de la incrustación de SO(3) en un espacio euclídeo

Question

Considere la posibilidad de $SO(3)$ con su bi-invariante de la métrica y $R^n$ el espacio euclidiano de dimensión $n$. ¿Cuál es el valor mínimo de $n$ tal que existe un isométrico de la incrustación de $f: SO(3) \to R^n$?

Answer 1

Acerca de incrustaciones, yo no lo sé, pero hay un isométrico de inmersión de $\mathrm{SO}(3)$ con su bi-invariante de la métrica en $\mathbb{R}^7$.

Para ver esto, considere la posibilidad de la representación natural $\rho_3:\mathrm{SO}(3)\to\mathrm{SO}\big({\mathcal{H}}_3\bigr)$ donde $\mathcal{H}_3$ es el $7$de espacio tridimensional que consiste en la serie de polinomios cúbicos en $\mathrm{R}^3$. Esta es una representación irreducible, por lo que hasta múltiplos hay un único producto interior en $\mathcal{H}_3$ que es invariante bajo esta $\mathrm{SO}(3)$ acción. Dotar a $\mathcal{H}_3$ con este producto interior.

El estabilizador del elemento $h = x_1x_2x_3\in\mathcal{H}_3$ es de 12 elementos discretos subgrupo $A$ (isomorfo a $A_4$). La métrica inducida en $\mathrm{SO}(3)$ por la inmersión $\iota:\mathrm{SO}(3)\to \mathcal{H}_3$ definido por $\iota(a) = \rho_3(a)h$ es claramente de izquierda-invariante y también es invariante bajo a la derecha de la multiplicación de los elementos de $A$. Desde la conjugación de los elementos de $A$ actos irreducible en la Mentira de álgebra de $\mathrm{SO}(3)$, se deduce que este inducida por la izquierda-invariantes métricos es completamente invariante y por lo tanto es un múltiplo de la bi-invariante de la métrica. La sustitución de $h$ por cualquier valor distinto de cero múltiples de $h$, se puede ampliar la inducida por la métrica de forma arbitraria, por lo que podemos obtener cualquier (positivo) múltiples de la bi-invariante métrica que queremos.

Nota, sin embargo, que el $\iota$ es un isométrico de la incrustación de $\mathrm{SO}(3)/A$, no $\mathrm{SO}(3)$ sí. Parece muy probable que este isométrica de inmersión puede ser isométricamente perturbado a un isométrico de la incrustación, pero yo no lo he probado para comprobar que todavía.

En realidad, sospecho que hay un isométrico de la incrustación en $\mathbb{R}^6$, pero que ciertamente no es un equivariant uno, y, si existe, puede ser difícil de encontrar.

Answer 2

los nueve elementos de la matriz de $SO(3)$ representar un vector en $R^9$, ver Isométrica de la Incrustación Homogéneo y Compacto de 3-Variedades (1996).

Answer 3

Este papel (I. Oszvath y B. Schuking, 1996) parece para la construcción de la integración en $\mathbb{R}^9$ y parecen estar reclamando que no hay un solo int $\mathbb{R}^6,$ o menos-que-9 dimensiones del espacio.

Answer 4

(No una respuesta en absoluto.)

Si un espacio métrico $X$ admite un isométrico de la incrustación en Euclidiana $\mathbb{R}^n$, entonces todos los Caley--Menger determinantes definidos por $n+2$ puntos de $X$ son iguales a 0. Por otra parte, para un espacio métrico integrable en algunos $\mathbb{R}^N$ con un gran $N$ (este es nuestro caso) por encima de la propiedad garantiza que la imagen de incrustar encuentra en un $n$-dimensiones del subespacio. Esto le permite obtener la mínima dimensión para cualquier métrica específica, pero hay muchas bi-invariante métricas, este es el problema.

Answer 5

SO(3), un 3-dimensional de rotación es determinado por una opción de eje, un elemento de $\mathbf{RP}^2$, y la cantidad de rotación, un número en $[0,2\pi)$. Así que no debe ser posible con un número de 1 a más de que de plano proyectivo?