Aparentemente la respuesta es no no todas las variedades de Hausdorff Banach conectadas son regulares, ni siquiera cuando se modelan en un espacio de Hilbert separable.
Cito (textualmente) a J. Margalef-Roig, E. Outerelo-Dominguez, Topología diferencial , Estudios Matemáticos de Holanda Septentrional 173, 1992, página 44f.
Es bien conocido el resultado de la Topología General de que toda espacio topológico Hausdorff localmente compacto satisface el axioma de Tychonoff [M-O-P, V.2, pg. 231]. Por esto y por el teorema de Riesz todo espacio topológico Hausdorff localmente finito dimensional y diferenciable satisface el axioma de Tychonoff. Esta última afirmación no es cierta para las variedades diferenciables de Hausdorff arbitrarias. En [M.O.1] hay un ejemplo de una variedad conectada de Hausdorff diferenciable de Hausdorff X de la clase ∞ , de tal manera que ∂X=∅ , X no es regular y X admite un atlas cuyas cartas se modelan sobre un espacio de Hilbert real separable de dimensión infinita.
Siguen añadiendo la hipótesis de regularidad en sus resultados siempre que es necesario.
Las referencias citadas son:
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[M.O.P.] MARGALEF, J.-OUTERELO, E.-PINILLA, J.L.: Topología, I-V. Alhambra, Madrid 1975, 79, 79, 80 y 1982.
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[M.O.1] MARGALEF, J.-OUTERELO, E.: Una variedad diferenciable de dimension infinita, separada y no regular. Rev. Mat. Hisp.-Am, IV, V.42, 1982, 51-55. (Enlace a QuickView) .
Edit : Como ha señalado Benjamin Dickman en los comentarios, el ejemplo también aparece en inglés en A. Kriegl, P.W. Michor, El cómodo escenario del análisis global , AMS (1997), 27.6 Colector no regular página 266. El libro está disponible como un archivo pdf en la página web de Kriegl.
