Teorema Fundamental de la K-teoría de bucle para grupos de más de $\mathbb{F}_1$?

Question

Como dice el título, me gustaría saber cuál es el teorema fundamental del algebraica de K-teoría diría que sobre el campo con un solo elemento. Recordemos que el teorema fundamental de la K-teoría proporciona una descomposición $K_i(R[T,T^{-1}])\cong K_i(R)\oplus K_{i-1}(R)$ para $R$ regular.

Ahora pasamos a la parte filosófica, el campo de $\mathbb{F}_1$. Para un sistema radicular $\Phi$, el candidato natural para el algebraica de grupo de tipo $\Phi$ sobre $\mathbb{F}_1$ es el grupo de Weyl $W(\Phi)$ - la fórmula para el orden del grupo es adecuado como señaló Tetas, véase también varios otros MO preguntas sobre $\mathbb{F}_1$ tal como esta o esta. Ahora quiero entender el bucle de grupo de este grupo de más de $\mathbb{F}_1$. La notación probablemente sería algo como $G(\Phi,\mathbb{F}_1[T,T^{-1}])$, y disculpas si alguien se siente ofendido por este abuso de notación. Yo sería de esperar que los afín Weyl grupo afín a la raíz del sistema $\tilde{\Phi}$ ser una razonable candidato.

El de arriba filosófica de adivinanzas tiene algunas consecuencias, y me gustaría saber si las siguientes afirmaciones han sido consideradas, y si son verdaderas o falsas. En la siguiente, tengo especializarse para el caso de los sistemas de raíces de $A_n$ e $\tilde{A}_n$, sólo por la certeza. En ese caso $W(A_n)\cong S_{n+1}$ es el grupo simétrico, y la afín grupo de Weyl $W(\tilde{A}_n)$ es una extensión de $S_{n+1}$ por $\mathbb{Z}^{n}$ donde $\mathbb{Z}^n$ se identifica con la hyperplane $x_1+\cdots+x_{n+1}=0$ en $\mathbb{Z}^{n+1}$ con la permutación de acción de $S_{n+1}$. Ahora aquí están las preguntas:

1. Hay estabilización de los teoremas de la homología de $W(\tilde{A}_n)$? ¿Cómo estos estabilización de teoremas se pueden comparar a los de $S_{n+1}$, en particular es el rango estable de la misma o uno menos? Más generalmente, tiene el homología de $W(\tilde{A}_n)$ sido calculada por casualidad (este es vagamente relacionado con este MO-pregunta en cohomology de la acción de la $S_n$ a $T_n$).

2. Siempre hay estabilización de teoremas, tienen a la gente considera la grupo de finalización de $\bigsqcup_n BW(\tilde{A}_n)$ y en comparación a la además de la construcción del espacio de $BW(\tilde{A}_\infty)^+$? Un teorema de estabilización debe implicar que los dos son débilmente equivalente.

3. ¿El teorema fundamental del algebraica de K-teoría de la retención en este situación? En otras palabras, podemos expresar la homotopy grupos de $BW(\tilde{A}_\infty)^+$ en términos de la estabilidad de homotopy grupos de las esferas? Quizás $BW(\tilde{A}_\infty)^+$ incluso divisiones como dos copias de la esfera espectro (una copia debidamente desplazado)?

Por supuesto, preguntas similares pueden ser formulados para el clásico de la serie, y yo estaría feliz de saber las respuestas en estos casos así.

Answer 1

Deje $G_n := W(\tilde{A}_{n-1})$. Si entiendo su descripción de forma correcta, no es una extensión $$1 \to G_n \to S_{n} \wr \mathbb{Z} \overset{sum}\to \mathbb{Z} \to 1$$ y así un $\mathbb{Z}$-Galois cubierta $BG_n \to B(S_{n} \wr \mathbb{Z})$. Hay productos exteriores $$\mu_{n,m} : G_n \times G_m \to G_{n+m}$$ dada por la concatenación, y esto $M := \coprod_{n \geq 0} BG_n$ en un homotopy conmutativa topológico monoid. Hay mapas similares de decisiones $M' := \coprod_{n \geq 0} B(S_{n} \wr \mathbb{Z})$ en un homotopy conmutativa topologial monoid,

Por el grupo de finalización teorema de McDuff--Segal, el asociado de mapas $$\mathbb{Z} \times BG_\infty \longrightarrow \Omega B M \quad \quad \mathbb{Z} \times B(S_\infty \wr \mathbb{Z}) \longrightarrow \Omega B M'$$ ambos son homología de equivalencias. De hecho, por un anexo a la McDuff--Segal de trabajo en mi artículo "Grupo de Finalización", local coeficiente de sistemas, y la perfección, la Revista Trimestral de Matemáticas 64 (3) (2013) 795-803, estos mapas están ambos en el hecho de acíclicos, por lo que el rendimiento homotopy equivalencias $$\mathbb{Z} \times BG_\infty^+ \simeq\Omega B M \quad \quad \mathbb{Z} \times B(S_\infty \wr \mathbb{Z})^+ \simeq \Omega B M'.$$

El espacio de $B(S_n \wr \mathbb{Z})$ puede ser modelado como configuraciones de $n$ puntos en $\mathbb{R}^\infty$ con etiquetas en $B\mathbb{Z} = S^1$. Como tal, el grupo de finalización de la $\Omega B M'$ puede ser abordado mediante Segal del "escaneo" de la técnica, y hay una equivalencia homotopy $$\Omega BM' \simeq Q(B\mathbb{Z}_+)$$ para el bucle infinito espacio del espectro $\mathbf{S}^0 \vee \mathbf{S}^1$.

Para llegar a $\Omega BM$, se puede utilizar la secuencia fibration $$BG_\infty \to B(S_\infty \wr \mathbb{Z}) \to B\mathbb{Z}$$ cumpla una condición (por ejemplo, Berrick) para ser más edificable, por lo que hay una secuencia fibration $$\Omega BM \to Q(B\mathbb{Z}_+) \to B\mathbb{Z}.$$ Por lo tanto $\Omega BM$ es el bucle infinito espacio del espectro $\mathbf{S}^0 \vee \overline{\mathbf{S}}^1$ donde $\overline{\mathbf{S}}^1$ es el 1-conectado de la cubierta de $\mathbf{S}^1$.

He evitado cuidadosamente la discusión de homológica de la estabilidad de los grupos $G_n$ (no es, a pesar de lo que la pregunta dice, es necesario (y suficiente) para comparar el $\mathbb{Z} \times BG_\infty^+$ con $\Omega BM$). Creo que homológica estabilidad sí, pero requiere de una técnica aún no está en la literatura. Esta técnica esperemos que aparecen en un libro de papel.