Son homeomórficos abrir subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ también diffeomorphic?

Question

Deje $U_1, U_2$ ser abierto subconjuntos de $\mathbb{R}^n$. Ambos son, naturalmente, diferenciable submanifold, consiguiendo la estructura diferenciable de $\mathbb{R}^n$. Además, ambos son naturales topológico de colectores, como submanifolds de $\mathbb{R}^n$.

Pregunta: Si $U_1$ e $U_2$ son homeomórficos, son también diffeomorphic?

Por supuesto, dos generales topológico colectores que son homoemorphic no necesitan ser diffeomorphic. Pero aquí la estructura diferenciable es muy especial.

La respuesta podría depender de la dimensión $n$. Para $n=1,2,3$ es sí, ya que hay cada topológico colector tiene una única estructura diferenciable. Para $n \geq 5$ e $U_1$ abierta la pelota la respuesta es sí, por la singularidad de estructuras diferenciables en $\mathbb{R}^n$ para $n \geq 5$.

Algunos casos especiales son:

1. ¿Qué sucede si $U_1$ (y, por tanto,$U_2$) es contráctiles?

2. ¿Qué sucede si $U_1$ es una bola y $n=4$? Hay un exótico $\mathbb{R}^4$ que puede ser realizado como un subconjunto abierto de la norma $\mathbb{R}^4$?

(La pregunta surgió porque me encontré con un descuidado definición de un colector. Uno puede ver el por encima de los colectores tal y como son definidas por un solo gráfico. [Que por supuesto depende de su definición de gráfico, si usted requiere que se inicie de una bola o no.] Así, las preguntas, básicamente, se pregunta: ¿Cómo colectores con sólo un gráfico parece?)

Answer 1

De hecho, existe una cantidad no numerable de pequeños exóticos liso $\mathbb{R}^4$'s, es decir, suave colectores $X$ cuales son homeomórficos a $\mathbb{R}^4$ pero no no diffeomorphic y que puede ser fácilmente incorporado como abrir los subconjuntos de $\mathbb{R}^4$. Hay discusiones de esta en muchos lugares; recomiendo primero leer la parte correspondiente de Scorpan del libro "El Mundo Salvaje de 4-Variedades" para una breve encuesta (que incluye una buena bibliografía de más detallado de las fuentes).

Answer 2

La adición de Andy respuesta: hay un montón de contráctiles abrir subconjunto de $\mathbb R^n$ que no homeomórficos a $\mathbb R^n$. Por ejemplo, cualquier compacto contráctiles del colector de dimensión $n>4$ incrusta en $\mathbb R^n$: el doble de cualquier compacto contráctiles del colector es simplemente conectado y, por tanto, un homotopy esfera, que después de la eliminación de un punto se convierte en $\mathbb R^n$. Para las construcciones de compacto contráctiles colectores, ver Kervaire del papel Suave homología de las esferas y sus grupos fundamentales.

Se menciona una confusión acerca de un "descuidado definición de un colector" y pedir que los colectores tiene un gráfico. Por un gráfico que parecen significar cualquier subconjunto abierto de un colector junto con un homeomorphism en un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$, que creo que es una definición válida. Cualquier atlas de cartas cuya transición de las funciones son suaves define una suave estructura en su colector, la cual por definición es el conjunto de todos los atlas compatible con una determinada. Si sólo hay un gráfico, a continuación, la (única) la transición de la función es la identidad, que es lisa. Sin embargo, esto sólo implica que su colector con un gráfico que diffeomorphic a un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$.