Deje $z_1,z_2,\ldots,z_n$ número complejo tal que $|z_i|<1$ todos los $i=1,2,\ldots,n$. La demostración de que podemos elegir $a_i \in\{-1,1\}$, $i=1,2,\ldots,n$ tal que $$\left|\sum_{i=1}^n a_iz_i\right|<\sqrt3.$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Yo no era capaz de pensar a través correctamente, pero he aquí un boceto:
El uso de la inducción como sugiere Berci, pero con un pequeño giro. La idea principal es que para dos números de $z_i$ $z_j$ tal que $|z_i| < 1$ $|z_j| < 1$ podemos obtener $|z_i\pm z_j| < 1$ mientras algunos ángulo (de cuatro) entre ellos (la diferencia de argumentos) es menor o igual que $\frac{\pi}{3}$. Sin embargo, como el tiempo que tienen 3 o más números, vamos a ser capaces de encontrar una pareja.
Ejemplo rápido de la lexema: $z_i$ está en algún lugar en la línea azul, la cruz roja es el $z_j$ y la violeta es la suma de los mismos. El punto es que mientras la cruz roja pertenece a un tono más oscuro de verde, el violeta de la línea de permanecer en la luz verde de la región.
$\hspace{70pt}$
No sé si voy a encontrar el tiempo suficiente para trabajar en todos los detalles, así que si esta idea sea de su agrado, no dude en usarlo.
Saludos!
bryanj
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1886
Reclamo: Si $z_1, z_2, z_3, z_4$ son cuatro números en su interior al abrir la unidad de disco, luego hay un par de ellos $z_k, z_j$ $z_k \pm z_j$ también en la unidad de disco, para la elección correcta de la señal.
Prueba: Si $z_1 = 0$, $z_3 = z_3 + z_1$ y hemos terminado. De lo contrario, gire el disco de modo que, sin pérdida de generalidad, podemos considerar a $z_1$ a ser un número real positivo. Deje $b_i = \pm 1$, de modo que $b_2 z_2, b_3 z_3,$ $b_4 z_4$ no-negativa de la parte imaginaria. Deje $\theta_i = \arg(b_i z_i)$,$0 \le \theta_i \le \pi$. Cambiar el orden de la $z_i$ en términos de aumento de argumento, de modo que $0 = \theta_1 \le \theta_2 \le \theta_3 \le \theta_4$. $\theta_4 = (\theta_2 - \theta_1) + (\theta_3 - \theta_2) + (\theta_4 - \theta_3) \le \pi $. Debe haber un índice $j$ $\theta_{j+1} - \theta_j$ no más de $\displaystyle \frac{\pi}{3}$. Deje $w_1 = b_{j+1} z_{j+1}, w_2 = b_{j} z_{j}$. A continuación, $e^{-i\theta_{j}}w_2$ es un real positivo, y $0 \le \arg(e^{-i\theta_{j}}w_1) \le \displaystyle \frac{\pi}{3}$. Es fácil demostrar que $$ |b_{j} z_{j} - b_{j+1} z_{j+1}| = |w_2 - w_1| = |e^{-i\theta_{j}} w_2 - e^{-i\theta_{j}} w_1 | = |1 - e^{-i\theta_{j}}w_1| \lt 1 $$
Pero $|z_{j} \pm z_{j+1}| = |b_{j} z_{j} - b_{j+1} z_{j+1}|$ para una elección de signo, por lo que tenemos la reclamación.
Ahora que tenemos la reclamación, el resto es fácil. A partir de cualquier colección de $z_1, z_2, \cdots, z_n$$n \ge 3$, en repetidas ocasiones se aplican a la reclamación de lo que nos deja con tres números de $w_1, w_2, w_3$ dentro del disco. Uno de estos, decir $w_3$, es de la forma $a_1 z_1 a_2 z_2 + \cdots + a_{n-2} z_{n-2}$. Girar el disco no cambia el módulo de la suma de puntos en el disco, así que de nuevo WLOG podemos tomar $w_3$ a ser un no-real negativo.
Ahora tenemos que demostrar que podemos encontrar$a_1, a_2 = \pm 1$, de modo que $|w_3 + a_1 w_1 + a_2 w_2|^2 \lt 3$. Deje $w_k = x_k + i y_k$. Expandir $|w_3 + a_1 w_1 + a_2 w_2|^2$ para obtener
$$ |w_3 + a_1 w_1 + a_2 w_2|^2 = \Big\{ x_3 ^2 + x_1 ^2 + x_2 ^2 + y_1 ^2 + y_2 ^2 \Big\} + 2 f(a_1, a_2) $$
donde $f(a_1, a_2) = a_1 a_2 (x_1x_2 + y_1 y_2) + a_1 x_1 x_3 + a_2 x_2 x_3$. Es fácil demostrar a $f(a_1, a_2) \le 0$ para la derecha las opciones de $\pm1$$a_i$.
En este caso, a continuación, $$ |w_3 + a_1 w_1 + a_2 w_2|^2 = \Big\{ x_3 ^2 + x_1 ^2 + x_2 ^2 + y_1 ^2 + y_2 ^2 \Big\} + 2 f(a_1, a_2) \le x_3 ^2 + x_1 ^2 + x_2 ^2 + y_1 ^2 + y_2 ^2 \le 3 $$
Christian Brabandt
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Lo siento, no tengo la suficiente reputación para hacer comentarios. Esto es sólo un comentario. Lo que si se utiliza la contradicción. Decir $\left| \sum a_i z_i \right| \geq \sqrt{3}$ por cada elección de los coeficientes de $a_i$. A continuación, considere el más pequeño de dicha suma (que existe, ya que hay sólo un número finito de posibilidades). Que es el final de mi buena idea, pero parece que usted debería ser capaz de producir una más pequeña, el uso que la suma tiene la forma $a + bi$ $a$ o $b > 1$. Mi conjetura es que el $\sqrt{3}$ puede ser reemplazado por cualquier número mayor que $\sqrt{2}$.
Actualización: me gusta esta pregunta! Aquí es una idea (pero aún no es una prueba, lo siento!) Suponga que la demanda no eran verdaderos. A continuación, vamos a $z_1, \ldots, z_n$ denotar un contra-ejemplo, con el mínimo posible de $n$. En primer lugar demostrar que $n > 2$. A continuación, mostrar que si $n > 2$, hay algo de valor en $\pm z_i \pm z_j$ que se encuentra en el círculo unidad. Entonces tenemos una contradicción a minimality, mediante la sustitución de los dos números complejos $z_i, z_j$ con el único complejo de número de $\pm z_i \pm z_j$.
Respuesta real(?): Podemos demostrar que el reclamo por la contradicción. Asumir que existen $z_1, \ldots, z_n$ de tal manera que cada combinación de $\left| \sum a_i z_i \right| \geq \sqrt{3}$, y elija $z_1, \ldots, z_n$ con esta propiedad que utiliza la mínima cantidad posible de números complejos.
Primero de todo, tenemos que usar al menos 3 de los números complejos. Para ver esto, supongamos que tenemos dos números complejos $z_1, z_2$ acostado dentro del círculo unidad. Único que nos importa es el valor absoluto de la suma de los mismos, por lo que podemos girar de modo que el más grande de los dos se encuentra en el positivo de la línea real. Entonces podemos cambiar la escala, de modo que el más grande de los dos es exactamente 1. Entonces queremos saber lo que es $$\sup_{|a+bi| \leq 1} \min(|1 + a + bi|, |1-a - bi|) = \sup_{|a + bi| \leq 1} \min \sqrt{ (1 \pm a)^2 + (\pm b)^2}.$$ It is clear that this supremum is achieved when $un = 0$ and $b = \pm 1$. This corresponds to $1 \pm i$, which indeed has norm $\leq \sqrt{3}$.
A continuación nos dicen que si $z_1, z_2, z_3$ son tres de los números complejos situados dentro del círculo unidad, existen dos de ellos, $z_i, z_j$ y signos (no necesariamente la misma) de forma tal que $\left| \pm z_i \pm z_j \right| \leq 1.$ Después de que, posiblemente, la reorganización de los números y de la negación de algunos de ellos, podemos suponer que $|z_1| \geq |z_2|$, y que el ángulo de separación de ellos es en la mayoría de las $\frac{\pi}{3}$ radianes. Podemos entonces escribir $z_2 = cz_1$ donde $|c| \leq 1$, y el argumento de $c$ es en la mayoría de las $\frac{\pi}{3}$. Entonces $$z_1 - z_2 = (1 - c)z_1.$$ The largest possible absolute value of $1-c$ occurs when the argument of $c$ is exactly $\frac{\pi}{3}$. (I think this is clear by drawing the picture. If someone asks, I will try to write it up carefully.) Then $1 - c = (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{\sqrt{3}}{2} i$. This has norm strictly less than $1$, hence the norm of $(1-c)z_1$ también es estrictamente menor que 1.
Ahora regresa a nuestro mínima contra-ejemplo $z_1, \ldots, z_n$. Estamos suponiendo que cada suma $\sum a_i z_i$ tiene valor absoluto, al menos,$\sqrt{3}$, y que no hay ningún conjunto de $n-1$ números complejos con esta propiedad. Pero en la nota del párrafo anterior, $z_1 - z_2, z_3, \ldots, z_n$ también debe tener esta propiedad, que es una contradicción.
