motivar representación geométrica de la teoría de

Question

Me pregunto si hay una buena motivación para la representación geométrica de la teoría de dentro de las preguntas de la clásica teoría de la representación.

En otras palabras, me gustaría ver algo a través de la geometría que es "más carnoso" que, por ejemplo, sólo el uso de técnicas geométricas para la construcción de la excepcional isomorphisms entre las bajas dimensiones Mentira grupos --- pero algo que aún pueden ser declarados en el marco de la clásica teoría de la representación (a diferencia de, digamos, la Borel-teorema de Weil y amigos).

Answer 1

Yo estoy luchando para ver el estado actual de la cuestión es, pero aquí es un ejemplo de un no-trivial uso de la geometría para demostrar una declaración simple en la teoría de la representación; además, es la única forma conocida para obtener el resultado (disculpas si este no es lo que está después): el $n!$ conjetura afirma que la dimensión de un cierto bigraded $S_{n}$-módulo de es $n!$ (de hecho, algo más fuerte, es cierto, el bigraded módulo de la izquierda regulares de la representación). Esta instrucción es equivalente a una cierta morfismos ser Gorenstein y Cohen-Macaulay, a saber, el de morfismos $\rho: X_{n}\to H_{n}$ donde $H_n$ es el esquema de Hilbert de n puntos en $\mathbb{C}^2$ e $X_n$ es el isospectral esquema de Hilbert. Marca Haiman dio una prueba de la geométrica de la declaración en el año 2000 (de matemáticas.AG/0010246).

El bigraded módulo (de $D_{\mu}$) considera aquí es el lapso de derivadas parciales (con respecto a $x$'s y $y$'s) de un bihomogeneous polinomio $\Delta_{\mu}(x_1,\ldots,x_n;y_1,\ldots,y_n)$ donde $\mu$ es una partición de $n$. Además, el 'bigraded multiplicidad" de la simple $S_n$-módulo de $V^{\lambda}$ en $D_{\mu}$ da los coeficientes de los Macdonald-Kostka polinomios, demostrando su positividad (Macdonald conjetura).

De nuevo, no estoy seguro de que este es un ejemplo de 'representación geométrica de la teoría' como la mayoría de la gente la vea, pero es un buen ejemplo del uso de la geometría para resolver un 'clásico' de la representación teórica del problema. (Supongo que mi lucha para que la pregunta es más para hacer con la comprensión de lo que viene en "representación geométrica de la teoría')

Answer 2

Yo lo interpreto de la TGR como se explica aquí: http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+representación+teoría

Te doy dos ejemplos de la teoría de números, en particular, en el programa de Langlands y explicar, cómo la geometría puede ser útil.

La principal preocupación de que el programa de Langlands son automorphic representaciones de un determinado reductora grupo $G$ sobre un campo global $F$, ¿cómo pueden ser transferidos a diferentes grupos (functoriality) y cómo se relacionan con representaciones de Galois/motivos (correspondencia). Una de las herramienta clave en este estudio es la de Arthur traza fórmula: Se refiere

automorphic representaciones de $G/F$ $\qquad\leftrightarrow\qquad$ clases conjugacy en $G(F)$.

Functoriality: Automorphic formas de por sí son, en general, muy difícil de atacar, específicamente aquellos relacionados con la trascendental Maass cúspides de las formas. Simplemente para demostrar su existencia, Selberg explotado la comparación anterior (Selberg de seguimiento de la fórmula). También, si quieres una prueba de que ciertos automorphic de representación puede ser asignada a una reductora grupo $G'$, puede intentar comparar las clases conjugacy de $G(F)$ e $G'(F)$. La Jacquet-Langlands correspondencia es demostrado a lo largo de estas líneas. Otras famosas conjeturas, que son conocidos a seguir a partir de tales mapas son los Selberg autovalor conjetura o, más generalmente, la Ramanujan-Petersson conjetura.

Correspondencia: Si usted puede darse cuenta de Galois representaciones geométricamente como operadores en cierta Homología de clases, y comparar la Lefschetz de seguimiento de la fórmula con la de Arthur traza de la fórmula, se puede probar la igualdad de las Artin L-función de la Galois representación con la L-función os algunos automorphic representación. Un ejemplo famoso es el Shimura-Taniyama conjetura y las pruebas de la Langlands correspondencia para la función global de los campos por Drinfeld/Lafforgue. No sé cuánto amas Deligne la prueba de la modularidad de las formas modulares de peso $k\geq 2$ y generalizaciones de Harris-Taylor, etc., pero supongo que es el mismo principio. Estos le dan también casos especiales de la Ramanujan-Petersson conjeturas, simplemente porque el Artin L-función de Galois representación necesariamente satisface la misma.

Al menos moralmente, uno debe estar interesados en concreto los modelos geométricos de la realización de representaciones irreducibles. Harish-Chandra ha clasificado todos los discretos serie de semi-simple conectado el real de la Mentira de los grupos a través de la informática de su huellas en el camino antes de Atiyah-Schmid encontrado un geométricas realización de todos ellos a través de K-teoría. La conocida clasificación de los admisible representantes de reductora grupos como $GL(n)$ sobre los no-arquímedes campos geométricos a mi conocimiento, es decir, da como inducida por los representantes. También Harish-Chandra mismo expresó la Plancherel fórmula de real reductiva de la Mentira de los grupos en términos de datos geométricos como clases conjugacy, muy similar a las ideas en el Arthur de seguimiento de la fórmula, dando una herramienta para un similar análisis local como se indica en el programa de Langlands (locales de ámbito local).

Answer 3

Considere la posibilidad de triples $(\lambda,\mu,\nu)$ de dominante pesos de $G$ de manera tal que la irrep $V_\nu$ se produce en $V_\lambda \otimes V_\mu$. Entonces este espacio de triples es cerrado bajo la suma.

Prueba. Un intertwiner puede ser identificado con un $G$-sección invariante de la $(\lambda^*,\mu,\nu)$ equivariant línea paquete de más de $(G/B)^3$. Tensoring dos secciones juntos, tenemos una tercera, que es distinto de cero de nuevo debido a $(G/B)^3$ es reducido y irreductible.

(Por otra parte, este monoid es finitely generado, también, no es difícil demostrar con este enfoque).

Answer 4

un buen problema geométrico para introducir a los subgrupos discretos de Lie semisimple grupos y algunos teoría de la representación se presenta en: Armand Borel, los Valores de indefinido cuadráticas formas de integral puntos y los flujos en los espacios de las rejillas. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. (N. S.) 32 (1995)