Demostrar que $e^\pi+\frac{1}{\pi} < \pi^e+1$

Question

Probar que:

$$e^\pi+\frac{1}{\pi}< \pi^{e}+1$$

El uso de Wolfram Alpha $\pi e^{\pi}+1 \approx 73.698\ldots$ e $\pi(\pi^{e}+1) \approx 73.699\ldots$

Puede esta desigualdad se puede probar, sin fuerza bruta estimaciones (nada de eso $e\approx 2.7182...$ o $\pi \approx 3.1415...$)? Acabo de ver esto y me acordé de que he visto la pregunta que se hace aquí en un viejo papel, pero no recuerdo los detalles.

Tenga en cuenta que esto es más agudo porque puede ser escrita como:

$$e^{\pi}-\pi^e<1-\frac{1}{\pi}<1$$

Yo he intentado, pero ninguno de los métodos en los enlaces de la pregunta (que el estudio de la función de $x^\frac{1}{x}$) se puede aplicar aquí.

Answer 1

A partir de la continuación de la fracción de expansión de $\pi$, tenemos

$$ \frac{333}{106}\lt\frac{103993}{33102}\lt\pi\lt\frac{355}{113}\;. $$

Hay varias maneras de probar estas desigualdades sin el uso de aproximaciones decimales:

• El aceptó respuesta a Cómo encontrar a continuación fracción de pi se muestra cómo encontrar la continuación de la fracción de expansión sin uso de aproximaciones decimales como entradas.
• Esta respuesta a ¿hay un integrante que acredite $\pi > 333/106$? proporciona integrales con positivo integrands que evalúan las diferencias en estas desigualdades.
• Usted puede sumar un par de términos, por ejemplo el de Bailey–Borwein–Plouffe fórmula para $\pi$, obligado el resto con una serie geométrica y comparar el resultado de las fracciones de los límites anteriormente.

En el caso de $\mathrm e$, la continuación de la fracción de expansión es regular y puede ser sistemáticamente derivados (ver, por ejemplo, Una Breve Prueba de la Simple Continuación de la Fracción de Expansión de e por Henry Cohn, La American Mathematical Monthly, $113(1)$, $57$–$62$, La Simple Continuación de la Fracción de Expansión de e por el C. D. de Edad, La American Mathematical Monthly, $77(9)$, $968$–$974$, o Continuación de la fracción para el correo en Topológico Reflexiones); que los rendimientos de

$$ \frac{1264}{465}\lt\mathrm e\lt\frac{1457}{536}\;. $$

Por lo tanto, es suficiente para mostrar que

$$ \left(\frac{1457}{536}\right)^\frac{355}{113}+\frac1{\frac{333}{106}}\lt\left(\frac{103993}{33102}\right)^\frac{1264}{465} + 1\;, $$

o

$$ \left(\frac{1457}{536}\right)^\frac{355}{113}\lt\left(\frac{103993}{33102}\right)^\frac{1264}{465} + \frac{227}{333}\;. $$

Desde ambos lados contienen fracciones de los exponentes, es difícil comparar directamente; pero podemos encontrar una fracción que se encuentra entre ellos y comparar por separado. Entre el adecuado fracciones, uno con la menor denominador es $\frac{4767}{206}$. Las desigualdades racionales

$$ \left(\frac{1457}{536}\right)^{355}\lt\left(\frac{4767}{206}\right)^{113} $$

y

$$ \left(\frac{4767}{206}-\frac{227}{333}\right)^{465}\lt\left(\frac{103993}{33102}\right)^{1264} $$

son fácilmente comprobado con la aritmética de enteros, y por lo tanto con

$$ \left(\frac{1457}{536}\right)^\frac{355}{113}\lt\frac{4767}{206}\lt\left(\frac{103993}{33102}\right)^\frac{1264}{465} + \frac{227}{333} $$

el resultado de la siguiente manera.