La prueba de una identidad que involucra $\int \exp(-|x-s|)dx$ más de una, incluso esfera

Question

Quiero demostrar la siguiente identidad calcular la integral de una exponencial sobre una aún tridimensional de la esfera en términos de funciones de $\chi_i(R)$ e $\tilde\psi_i(s)$ (descrito a continuación), que son esencialmente modificado esférica funciones de Bessel.

En primer lugar, configurar algunas anotaciones. Deje $p>0$ ser un número entero y $R>0$. Deje $S_R^{2p}\subset \mathbb{R}^{2p+1}$ el valor del radio de $R$ ámbito. Deje $\mathrm{s}\in \mathbb{R}^{2p+1}$ ser un punto dentro de la esfera y deje $s=|\mathrm{s}|$ lo $0\le s<R$. Por último, vamos a $\omega_n$ ser el volumen de la unidad $n$-ball. Quiero mostrar la siguiente. $$ \frac{1}{(2p+1)!\,\omega_{2p+1}} \int_{\mathrm{x}\en S_R^{2}} e^{-\left|\mathrm{x}-\mathrm{s}\right|}\,\mathrm{d}\mathrm{x} = \frac{(-1)^p e^{-R}}{2^p p!}\sum_{i=0}^p \binom{p}{i}\chi_{p+i}(R)\tilde\psi_i(s). $$

Puedo conseguir Sage para comprobar que esto es cierto hasta, digamos $p=18$, utilizando la forma integral de la parte izquierda de abajo. Yo había pedido previamente para una referencia de la integral, pero como ninguno aparecía, he publicado la totalidad de la declaración en la esperanza de una prueba!

Aquí $(\chi_i)_{i=0}^\infty$ indicar la secuencia de la inversa de los polinomios de Bessel', por lo que el $\chi_i(R)$ es un grado $i$ polinomio entero en $R$. La secuencia comienza de la siguiente manera: \begin{align*} \chi_0(R)&=1;\\ \chi_1(R)&=R;\\ \chi_2(R)&=R^2+R;\\ \chi_3(R)&=R^3+3R^2+3R. %;\\ %\chi_4(R)&=R^{4} + 6 R^{3} + 15 R^{2} + 15 R. %\chi_5(R)&=R^{5} + 10 R^{4} + 45 R^{3} + 105 R^{2} + 105 R \end{align*} Hay muchas maneras de definir a esta secuencia, pero podemos tomar la recursividad relación como una definición: $$ \chi_ {+2}(R)=R^2\chi_i(R)+(2i+1)\chi_{i+1}(R). $$

Estas funciones están relacionadas con la modificación funciones de Bessel esféricas por $\chi_i(R)=\frac{2}{\pi} e^R R^{i+1}k_{i-1}(R)$. Voy a describir una forma integral en la parte inferior.

La secuencia de $(\tilde\psi_i)_{i=0}^\infty$ indica la secuencia de las funciones de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que comienza de la siguiente manera: \begin{align*} \tilde\psi_0(s)&=\cosh(s);\\ \tilde\psi_1(s) &=-\frac{\sinh\left(s\right)}{s};\\ \tilde\psi_2(s) &=\frac{\cosh\left(s\right)}{s^{2}} - \frac{\sinh\left(s\right)}{s^{3}};\\ \tilde\psi_3(s) &= -\frac{\sinh\left(s\right)}{s^{3}} + \frac{3 \, \cosh\left(s\right)}{s^{4}} - \frac{3 \, \sinh\left(s\right)}{s^{5}}. %;\\ %\tilde\psi_4(s) %&= %\frac{\cosh\left(s\right)}{s^{4}} - \frac{6 \, \sinh\left(s\right)}{s^{5}} + \frac{15 \, \cosh\left(s\right)}{s^{6}} - %\frac{15 \, \sinh\left(s\right)}{s^{7}}. \end{align*} Usted puede tomar los siguientes recursividad relación como una definición. $$ \tilde\psi_{i+1}(s)=-\frac{1}{s}\frac{\mathrm d \tilde\psi_i(s)}{\mathrm{d} s}. $$ Estas funciones están relacionadas con la modificación funciones de Bessel esféricas por $\tilde\psi_i(s)=(-1)^i i^{(1)}_{i-1}(s)/s^{i-1}$. De nuevo no son parte integral de los formularios en los que voy a dar en la parte inferior.

El lado izquierdo de la identidad que yo quiero probar puede ser expresada como una integral de línea de la siguiente manera lo que la hace más manejable. \begin{multline*} \frac{1}{(2p+1)!\,\omega_{2p+1}} \int_{\mathrm{x}\in S^{2p}} e^{-\left|\mathrm{x}-\mathrm{s}\right|}\,\mathrm{d}\mathrm{x}\\ =\frac{ R^{2p}}{p!(p-1)!(2)^{2p}}\int_{\theta=0}^{\pi}e^{-\sqrt{R^2+s^2-2Rs\cos \theta}}\sin^{2p-1}\theta\,\mathrm{d}\theta\\ =\frac{ R}{p!(p-1)!(4s)^{2p-1}}\int_{\rho=R-s}^{R+s}e^{-\rho}((R+s)^2-\rho^2)^{p-1} (\rho^2-(R-s)^2)^{p-1}\rho\,\mathrm{d}\rho. \end{multline*}

Para $i\ge 1$ e $R, s>0$ tenemos la siguiente integral de los formularios para las funciones. \begin{align*} \chi_i(R) &= \frac{e^R R^{2i}}{2^{i-1} (i-1)!}\int_{t=0}^\infty e^{-R\cosh t}\sinh^{2i-1}t\, \mathrm d t\\ &= \frac{e^R R}{2^{i-1} (i-1)!}\int_{y=R}^\infty e^{-y}(y^2-R^2)^{i-1}\, \mathrm d y. \end{align*} \begin{align*} \tilde\psi_i(s) &= \frac{(-1)^{i}}{2^{i} (i-1)!}\int_{\theta=0}^\pi e^{s\cos \theta}\sin^{2i-1}\theta\, \mathrm d \theta\\ &= \frac{(-1)^{i}}{2^{i} (i-1)!s^{2i-1}}\int_{x=-s}^s e^{x}(s^2-x^2)^{i-1}\, \mathrm d x. \end{align*}

Answer 1

A raíz de la respuesta de Sam Dolan, me generalizada mi conjetura a la siguiente, que puedo demostrar como Teorema 4 en mi papel de La magnitud de extrañas bolas a través de Hankel de los determinantes de la inversa de los polinomios de Bessel. [El enunciado de la pregunta es el caso donde $j=0$.]

Teorema. Para $0\le j \le p$, $\mathbf{s}\in \mathbb{R}^{2p+1}$, con $s=|\mathbf{s}|$ e $R>s\ge 0$ \begin{equation*} \int_{\mathbf{x}\in S^{2p}_R} \psi_j(\left | \mathbf{x}-\mathbf{s}\right|)\,\mathrm{d}\mathbf{x} = (-2\pi)^p 2 e^{-R}\sum_{i=0}^{p-j} \binom{p-j}{i}\chi_{i+p}(R) \tilde\psi_{i+j}(s). %\label{eq:GeneralizedKeyIntegral} \end{ecuación*}

Aquí $\psi_i$ (en oposición a $\tilde\psi_i$) puede ser definido por $\psi_i(r)=r^{-2i}e^{-r}\chi_i(r)$; es relativa a una modificación de la esférica función de Bessel de segunda clase.

La secuencia de estas funciones comienza de la siguiente manera: \begin{align*} \psi_0 (r) &= e^{-r}\\[0.5em] \psi_1 (r) &= e^{-r} \left( \frac{1}{r} \right)\\ \psi_2 (r) &= e^{-r} \left( \frac{1}{r^{2}} + \frac{1}{r^{3}} \right)\\ \psi_3 (r) &= e^{-r} \left( \frac{1}{r^{3}} + \frac{3}{r^{4}} + \frac{3}{r^{5}} \right)\\ \psi_4 (r) &= e^{-r} \left( \frac{1}{r^{4}} + \frac{6}{r^{5}} + \frac{15}{r^{6}} + \frac{15}{r^{7}} \right) . \end{align*}

Este teorema se expresa en términos de funciones de Bessel en otra pregunta.

Answer 2

Deje $L_p$ e $R_p$ ser el lado izquierdo y derecho. Poner $L(z)=\sum_{p=0}^\infty L_p .(z/R)^{2p}$ y de manera similar para $R(z)$; por lo que será suficiente para demostrar que $L(z)=R(z)$. El uso de la primera forma integral para $L_p$ uno puede mostrar que $$ L(z)= \int_{\theta=0}^\pi\frac{z}{2} I_1(\sin(\theta)z) e^{-\sqrt{R^2+s^2-2Rs\cos(\theta)}} \,d\theta, $$ donde $I_1$ es una función de Bessel. Eso no es un gran paso hacia adelante, pero tal vez es algo que vale la pena.

Answer 3

Mi sugerencia sería la de tratar de reemplazar el término exponencial en la integral de línea (segunda línea, después de "... la hace más manejable") con la identidad 10.2.35 en Abram&Stegun (http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_445.htm). La RHS de que la identidad es una infinita suma de los productos de la modificación funciones de Bessel esféricas i_n y k_n, y los polinomios de Legendre en z=cos(theta). Mi corazonada es que la integral de línea sobre z entonces podría ser evaluado (después de cambiar el orden de las integrales y suma).