Aquí es una exposición de la `alternativa hack" para que David Speyer aludido. Para la concreción, he corregido un grupo; el argumento va a ir a través de, en general, por supuesto.
Deje $g = (12) \in S_3$, una transposición en el grupo simétrico de tres elementos. La clase conjugacy de $g$ se compone de los tres relatos. Formulario de $a = \frac{1}{3}\left[(12) + (13) + (23) \right] \in \mathbb{C}S_3$, el promedio de $g$'s de la clase conjugacy. Es claro que para cualquier $x \in G$,
$$xax^{-1} = a$$
desde la conjugación de $a$ simplemente reorganizar los términos de la suma. Equivalentemente,
$$xa = ax,$$
y $a$ se encuentra en el centro de la $\mathbb{C}S_3$. De ello se sigue que si $\rho: S_3 \longrightarrow \mbox{Aut}(V)$ es una representación irreducible, la matriz de
$$\rho(a) = \frac{1}{3}\left[\rho(12) + \rho(13) + \rho(23) \right]$$
conmuta con cualquier $\rho(x)$. Schur del lema nos dice que $\rho(a)$ es un escalar matriz, que es, $\rho(a) = \lambda I$ para algunos $\lambda \in \mathbb{C}$.
Resumiendo, para cada representación irreducible $\rho$, podemos definir una función de la clase $\psi_{\rho}$ que se asocia a cualquier $g \in S_3$ escalares $\lambda$ por que $a=\frac{1}{|S_3|}\sum_{x \in S_3} xgx^{-1}$ actúa en $V$.
Como sucede, $\psi_{\rho}(g)$ puede ser calculada fácilmente en el carácter $\chi^{\rho}$: después de todo, cada elemento conjugado de a $g$ tiene la misma traza; por la linealidad,la
$\mbox{Tr}(\rho(a)) = \chi^{\rho}(a) = \chi^{\rho}(g)$.
De ello se sigue que
$$\psi_{\rho}(g) = \frac{\chi^{\rho}(g)}{\mbox{dim}V}.$$
El próximo paso natural es la de eliminar la referencia a un determinado $g$ el uso de un producto interior:
$$\langle \psi_{\rho},\chi^{\rho} \rangle = \frac{1}{\mbox{dim}V}.$$
Ampliando la definición del producto interior en funciones de clase,
$$\mbox{Tr}\left[\frac{1}{|S_3|^2}\sum_{g \in S_3} \left(\sum_{x \in S_3} \rho(xgx^{-1}) \right) \rho(g^{-1}) \right] = \frac{1}{\mbox{dim}V},$$
y
$$\frac{1}{|S_3|^2}\sum_{g \in S_3} \sum_{x \in S_3} \chi^{\rho}(xgx^{-1}g^{-1}) = \frac{1}{\mbox{dim}V}.$$
Nos lleva a considerar la formal suma $d=\sum_{g,h \in S_3} ghg^{-1}h^{-1}$ mencionado en David Speyer post. Esta suma es invariante bajo cualquier automorphism de $S_3$ (en particular interior de automorfismos) y así se encuentra en el centro del grupo de álgebra $\mathbb{C}S_3$. Schur del lema nos dice que la imagen de $d$ bajo cualquier representación irreducible $\rho$ es un escalar. Por lo anterior, podemos obtener
$$\sum_{g \in S_3} \sum_{h \in S_3} \rho(ghg^{-1}h^{-1}) = \left[\frac{|S_3|}{\mbox{dim}V}\right]^2I.$$
Considerando ahora el regular representación $\mathbb{C}S_3$, vemos que el elemento $d$ actúa con número racional autovalores. En otras palabras, su polinomio característico se divide completamente en $\mathbb{Q}$. Pero también podemos ver por la inspección que el $d$ hechos por un número entero de la matriz. El polinomio característico es un monic polinomio entero y se divide en factores lineales, por lo que sus raíces son números enteros. Desde $\mathbb{C}S_3$ contiene cada irreductible de la representación como un sumando al menos una vez, vemos que cada
$$\frac{|S_3|}{\mbox{dim}V} \in \mathbb{Z}.$$
En particular, $1$, $2$, y $1$ todos los divide $6$.
