Personalmente, me sentí como si me entiende característica de las clases mejor una vez que dejé de intentar entender que mediante la visualización de ellos, y cambió a la comprensión de ellos en una axiomática contexto como el que encontrará en Milnor-Stasheff o Bott-Tu. Pero todavía llevo un par de intuiciones alrededor de ellos. Ya que yo trabajo en la geometría y la topología parte de esto puede ser ajeno a una puramente algebro-punto de vista geométrico, pero todavía puede ser útil.
Creo que la más clara característica de la clase a entender "visualmente" es la clase de Euler, la cual se mide el principal obstáculo para una (real, orientado a) vector paquete de más de una parte del espacio de $X$ tener un nonvanishing sección. Un nonvanishing sección de un vector paquete es equivalente a la asociada a la unidad de la esfera paquete de admisión de cualquiera de las secciones del todo, así que me voy a cambiar a hablar acerca de las secciones de la esfera de paquetes.
La imagen es más simple para $S^1$ paquetes. La fijación de la notación, vamos a $S^1 \to E \to X$ ser $S^1$ paquete de más de $X$. Aquí, la clase será valorado en $H^2(X, \mathbb Z)$. A través de el universal coeficiente de teorema, (la mayoría de) el contenido de esta clase puede ser expresado de la siguiente manera: un elemento de $H^2(X, \mathbb Z)$ es un `homologically coherente" forma de asignar los elementos en el coeficiente de anillo ($\mathbb Z$) a los elementos de la $H_2(X, \mathbb Z)$, sin embargo le gusta pensar en ellos. Trabajar con celulares de homología, lo que tenemos que hacer es asignar números enteros a $2$-células, y estos enteros debe de alguna manera medir el fracaso para el vector paquete en cuestión para admitir una sección sobre esta $2$-célula.
Tomado ingenuamente, este problema es estúpido: un $2$-cell es contráctiles, por lo que cualquier paquete de más de admitiera una sección. Pero esto no es productiva con vistas a tomar si tu objetivo es tratar de componer las distintas secciones en las que usted puede construir más de la $2$-células de forma individual. La forma correcta de abordar esto es empezar con una sección fija en el haz sobre la totalidad de la $1$-esqueleto de la $X$, y, a continuación, pregunte acerca de la extensión de esta sección sobre la $2$-de las células. (Una sección que siempre va a existir sobre el $1$-esqueleto, debido a que la fibra es $0$-conectado).
Así que vamos a $D$ ser $2$-célula. Hay una sección fija de $E$ sobre $\partial D$. Si trivializamos la restricción de $E$ sobre $D$ por la elección de algunos de identificación con $D \times S^1$, en estas coordenadas, la sección a lo largo de la frontera es algún ejemplar de $S^1 = \partial D^2$ sentado encima de $D^2$. Proyectando la fibra produce un elemento de $\pi_1(S^1)$, y esto es lo que podemos definir como el valor de la clase de Euler en la celda $D$!
¿Por qué es útil invariante? Recordemos que el problema en cuestión es el estudio de la obstrucción a la búsqueda de una sección de $E$ sobre $D$. Una vez que hemos trivializado $E|_D \cong D \times S^1$, esto es equivalente a encontrar un ascensor de $D = D^2$ a $D \times S^1$ que se extiende a la sección en la frontera. Pero esto se puede hacer si y sólo si el homotopy clase de la sección a lo largo de la frontera es trivial, que es lo que la clase de Euler es la medición.
Esto se explica con algunas fotos en un libro de Montesinos llamado Clásico Tesselations y Tres Colectores. Yo también soy de bocetos para los fundamentos de la `obstrucción de la teoría", que proporciona una agradable manera de desarrollar una teoría topológica de la característica de las clases. En este contexto, uno piensa en la Stiefel-Whitney clases (y las clases de Chern, también, para el caso) como la obstrucción de las clases, donde la obstrucción problema es encontrar un cierto número de linealmente independiente de las secciones de su vector paquete por encima de un cierto esqueleto de la base de su espacio.
