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Ejemplo de una variedad con $K_X$ $\mathbb Q$-Cartier pero no Cartier

Sé que la definición de $K_X$ normal, en una singular variedad, pero no tengo un buen conjunto de ejemplos en mi mente. ¿Cuál es un ejemplo de una variedad donde $K_X$ es $\mathbb Q$-Cartier, pero no Cartier? Existen condiciones bajo las cuales la contigüidad fórmula que me permite calcular el canónica de la clase de un singular divisor?

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Heather Puntos 11

Nota: he añadido un anexo a continuación en respuesta a quinque's comentario y la discusión de la cuestión (s)resucitó en matemáticas.stackexchange (ver el enlace en quinque's comentario).


Una manera fácil de producir una $\mathbb Q$-Cartier, pero no Cartier canónica divisor por el cociente. Por ejemplo, el cociente $$X=\mathbb A^3/(x,y,z)\sim (-x,-y,-z)$$ $2K_X$ es de Cartier, sino $K_X$ no lo es.

Se los dejo para que puedas demostrar que $2K_X$ es de Cartier. Aquí es cómo ver que $K_X$ es no: Claramente $X={\rm Spec}k[x^2,y^2,z^2,xy,yz,xz]$ en otras palabras, $X$ es afín cono sobre el Veronese superficie $\mathbb P^2\simeq V\subset \mathbb P^5$. La voladura del cono de punto ofrece una resolución de singularidades $\pi: Y\to X$ con divisor excepcional $E\simeq V$. De hecho, $E^2\sim -2L$ donde $L$ es la clase de una línea. De esta manera se sigue considerando el golpe como un golpe de ambiente $\mathbb A^6$ (el cono sobre $\mathbb P^5$) y notar que el cuadrado de la excepcional divisor del golpe de $\mathbb A^6$ es $-1$-los tiempos de la hyperplane en $\mathbb P^5$, lo que restringe a una cónica en $Y$. Ahora escribo $$K_Y\sim_{\mathbb Q} \pi^*K_X + aE \tag{$\estrellas$}$$ and use the adjunction formula ($de$ Y es suave!) para obtener $$ (a+1)E^2\sim K_E=K_{\mathbb P^2} \sim -3L. $$ La solución para $a$ muestra que $a=\dfrac 12$, lo que muestra que $K_X$ no puede ser Cartier.


Addendum (un.k.una. Intermezzo): quinque planteó la interesante observación de que $\dfrac 12 E$ se $\mathbb Q$-linealmente equivalente a un divisor de Cartier, por lo (s)que él estaba preocupado de que lo anteriormente expuesto no es prueba de que $K_X$ no es Cartier. La que realmente tiene, pero esto apunta a una consecuencia interesante, a saber, que esto significa que $\pi^*K_X$ realidad es numéricamente equivalente a la de un divisor de Cartier, de modo que sólo la intersección de los números de uno no va a ser capaz de demostrar que no es Cartier.

De todos modos, aquí es por lo anterior implica que $K_X$ no está de Cartier: Supongamos que es. Eso significa que $\omega_X$ es el trivial de la línea de agrupar en una vecindad del punto singular. Considerar el pull-back de un local generador. En $Y\setminus E$ esto generará $\omega_Y$ y, por tanto, la correspondiente (integral!) divisor $\pi^*K_X$ es igual (no sólo linealmente equivalente!!) a $K_Y+bE$ para algunos $b\in \mathbb Z$. A continuación, el mismo cálculo anterior implica que $b=-a=-\dfrac 12$ lo cual es una contradicción.

El punto es que si $K_X$ es de Cartier, entonces ($\star$) mantiene lineal de equivalencia, y de hecho con la igualdad, en lugar de $\mathbb Q$-lineal de equivalencia y, por tanto, $a$ tiene que ser un número entero en ese caso.


También interesante notar que la misma construcción no da un deseada ejemplo en la dimensión $2$: El cociente $\mathbb A^2/(x,y)\sim(-x,-y)$ es un cono sobre una cónica, que es una superficie en $\mathbb P^3$. En particular, es Gorenstein y, por tanto, $K_X$ es de Cartier.

Por otro lado, se pone en $2$-dimensional ejemplo por $\mathbb A^2/\mu_3$ donde $\mu_3$ actúa mediante la multiplicación por una primitiva tercera raíz de la unidad. La prueba es esencialmente la misma que la anterior. Es relativamente fácil ver (igual que arriba) que este es el mismo que el cono sobre una retorcida cúbicos.

Como por la contigüidad de la fórmula, que sin duda funciona siempre como $K_X+D$ es de Cartier y funciona hasta torsión si es $\mathbb Q$-Cartier. Si no es $\mathbb Q$-Cartier, no es claro cuál es la contigüidad de la fórmula debe significar, pero incluso entonces uno puede tener una especie de contigüidad fórmula que involucra $\mathscr Ext$'s, pero esto es casi Grothendieck la Dualidad, entonces.

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Karl Schwede Puntos 14702

Probablemente el ejemplo más fácil es $X = \operatorname{Spec} k[x^3, x^2y, xy^2, y^3]$. En este caso, $K_X$ no es Cartier, sino $3K_X$ es de Cartier.

¿De qué manera se tiene en cuenta el cómputo de la canónica de la clase de un singular divisor? La contigüidad de la fórmula básicamente funciona siempre suponiendo que las cosas son lo suficientemente normal.

En particular, uno siempre tiene la siguiente secuencia si se supone que $X$ es un divisor en un ambiente normal variedad $Y$. $$0 \to \omega_Y \to \omega_Y(X) \to \omega_X \to h^1(\omega_Y^{\bullet}) \to \cdots .$$

Si $Y$ es Cohen-Macaulay, entonces el $h^1$ se desvanece, si $X$ es normal, a continuación, $\omega_X$ puede ser visto como un divisor de clase, y hemos obtenido algún tipo de contigüidad fórmula. Sin embargo, realmente no necesitamos esas hipótesis.

Más generalmente, si $Y$ es normal, pero no necesariamente de Cohen-Macaulay, es Cohen-Macaulay fuera de un conjunto de codimension al menos 3 (debido a $Y$ es S2). Por lo tanto $h^1(\omega_Y^{\bullet})$ (la primera cohomology de la dualizing complejo de $Y$) se apoya en un codimension 3 (o más) subconjunto. En particular, el mapa de $\omega_Y(X) \to \omega_X$ es surjective en codimension 2 en $Y$, por lo que surjective en codimension 1 en $X$.

Esto es suficiente para el cálculo de la canónica de la clase de $X$ porque $\omega_X$ es siempre S2 (si $X$ es S1, que un reducido esquema). Por lo tanto $\omega_X$ está determinado por su codimension 1 comportamiento, que hemos completo se puede determinar por el anterior corto secuencia exacta.

EDIT1: Este tipo de restricción de cosas es, sin duda contenidas en el capítulo 16 de Kollár et al. "Volteretas y abundancia para algebraicas threefolds" libro.

EDIT2: Uno debe ser un poco cuidadoso al decir $(K_Y + X)|_X = K_X$. Puede ser un poco difícil de hacer sentido de la restricción de $K_Y + X$ al $K_Y + X$ no Cartier o $\mathbb{Q}$-Cartier (al menos en el codimension 1 puntos de $X \subseteq Y$). Esto es lo que Sándor está hablando. Sin embargo, usted siempre tiene la secuencia exacta de arriba, y así siempre, en cierto sentido, se calcula $\omega_X$.

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JimmyJ Puntos 1443

Aquí está una más algebraicas perspectiva sobre tu pregunta. Si $X=\text{Spec} (R)$ es afín y $R$ es Cohen-Macaulay álgebra a través de algunas de campo (la siguiente es verdadero en un sentido más general) y, a continuación, $K_X$ es de Cartier es equivalente a $R$ es Gorenstein. Por otro lado, $K_X$ es $\mathbb Q$-Cartier es el mismo que el de la clase de $K_X$ es de torsión en el divisor del grupo de clase (asumiendo $R$ es normal).

Así que para encontrar una clase de ejemplos, usted necesita normal de Cohen-Macaulay anillos con la torsión del grupo de clase, pero no Gorenstein. Si $R$ es una Veronese $S^{(d)}$ de % de $S=\mathbb C[x_1,\cdots, x_n]$ entonces $Cl(R)$ es siempre la torsión, pero $R$ es Gorenstein si y sólo si $d|n$ (Sandor del ejemplo es de hecho la más simple de esta clase, con $d=2, n=3$).

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