Un problema elemental de geometría euclidiana

Question

Este problema me lo planteó por primera vez Luke Pebody (que no sabía la respuesta en ese momento) y, después de trabajar un poco, todavía no he encontrado una prueba o un contraejemplo. Agradecería cualquier idea al respecto.

Llamar a un vector $v$ en $\mathbb{R}^2$ 'corto' si tiene módulo menor que 1. Sea $v_1,\dots,v_6$ sean vectores cortos tales que $\sum_{i=1}^6 v_i = 0$ . Demostrar que unos tres de los $v_i$ tienen una suma corta.

Answer 1

Una palabra: AoPS

Answer 2

Lema 1:

Si el ángulo, $\theta$ entre dos vectores "cortos", $v_1$ y $v_2$ (colocado de cabeza a cola) satisface $\theta \leq \pi/3$ entonces su suma es un vector corto.

Prueba:

Lugar $v_1$ en el origen, entonces el punto terminal de $v_1$ se encuentra dentro de la bola de la unidad. Colocando el $v_2$ en la cola de $v_1$ crea un ángulo $\theta \leq \pi/3$ . Cualquier arco de radio $r < 1$ trazado entre $\pi/3$ y $-\pi/3$ desde el punto terminal de $v_1$ también se encuentra dentro de la bola de la unidad. Así, $v_1+v_2$ es un vector "corto". $\blacksquare$

Desde $\Sigma v_i = 0$ podemos ordenar los vectores de forma que se cree un polígono convexo. Si alguno de los ángulos interiores satisface las condiciones del lema 1, entonces podemos reducir el problema a un polígono con menos lados.

Lema 2:

En un n-gono convexo (n=4,5 o 6), con ángulos interiores $\theta_i$ , ya sea $\theta_i \leq \pi/3$ para algunos $i$ o al menos un par de lados adyacentes (como vectores) pueden intercambiarse de manera que un ángulo menor que $\pi/3$ se crea.

Prueba:

Si $v_1$ y $v_2$ crear un ángulo interior $\alpha$ y $v_2$ y $v_3$ crear ángulo $\beta$ y, a continuación, intercambiando $v_2$ y $v_3$ crea un ángulo $\alpha+\beta-\pi$ entre $v_1$ y $v_3$ (que ahora son adyacentes al intercambiar $v_2$ y $v_3$ ). Buscando una contradicción, supongamos que este nuevo ángulo, $\alpha+\beta-\pi > \pi/3$ . Así, $\alpha+\beta > 4\pi/3$ . Si esto fuera cierto para cada par de ángulos adyacentes en un cuadrilátero, entonces $16\pi/3 < 2(\Sigma^4_{i=1} \theta_i)$ . $\sharp$ Para un 5-gon, $20\pi/3 < 2(\Sigma^5_{i=1} \theta_i)$ . $\sharp$ Y para un 6-gon $8\pi < 2(\Sigma^6_{i=1} \theta_i)$ . $\sharp$ Así, existe al menos un par de vectores adyacentes que pueden intercambiarse para obtener un ángulo interior menor o igual a $\pi/3$ . $\blacksquare$

Así, en un 6-gon, siempre podemos intercambiar dos vectores para que la suma de dos vectores adyacentes sea "corta". Sustituyendo $v_1, ... ,v_5, v_6$ con $v_1, ... , v_4, v_5+v_6$ para obtener 5 vectores "cortos" cuya suma es cero. Si $v_5+v_6$ es emparejable con otro vector de tal manera que su suma es "corta", entonces hemos terminado. En caso contrario, obtenemos otros dos vectores cuya suma es un vector "corto", y reducimos al caso de cuatro vectores. Como podemos volver a reducir el caso de los cuadriláteros, hemos terminado, a menos que tengamos que emparejar los dos vectores que no son "suma" para obtener un vector "corto". Si este es el caso, afirmo que todavía tenemos la suma de tres de los seis vectores originales es 'corta'.

Prueba de la reclamación:

Parece que fedja se me ha adelantado, pero esto era demasiado para escribirlo y borrarlo :P

Answer 3

Creo que esto fue un problema en mi clase de teoría de grafos. Usamos la teoría de Ramsey... No recuerdo los detalles, pero tienes que forzar una condición en los ángulos que asegure un módulo menor que 1.