Considere la posibilidad de un país con $n$ de familias, cada una de las cuales sigue teniendo hijos hasta que tienen un niño y luego se detiene. En el extremo, hay $G$ de las niñas y $B=n$ varones.
Douglas Zare muy upvoted respuesta a esta pregunta calcula la espera fracción de las niñas en una población formada de familias completas y explica por qué no debemos esperar a la igualdad de $1/2$. Mi pregunta se refiere a una diferente de la estadística, es decir, la probabilidad de que hay más niños que niñas (después de todas las familias que han finalizado la reproducción). Esta probabilidad resulta ser exactamente $1/2$, y estoy en busca de una explicación intuitiva de por qué.
De hecho, para que fija $n$, no es difícil ver que
$$Prob(G=k)=\binom{n+k-1}{k}\cdot {1\over 2^{n+k}}$$
(El coeficiente binomial es el número de maneras de asignar $k$ indistinguibles de las niñas a $n$ distinguibles de las familias.)
Por lo tanto $$Prob(G < B)=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+k-1}{k}\cdot {1\over 2^{n+k}}$$ No es difícil comprobar que esta suma es exactamente igual a $1/2$ (y por lo tanto, en particular, independiente de $n$).
Es decir, independientemente del número de familias, siempre tenemos la sorprendentemente (para mí) de una fórmula simple
$$Prob(G < B )=1/2$$
(Tenga en cuenta que esto implica $Prob(G>B)$ es estrictamente menor que $1/2$ --- porque siempre hay una cierta probabilidad de peso en el caso de $G=B$ --- a pesar de que una aplicación de la fórmula de Stirling muestra que $Prob(G>B)$ converge a $1/2$ as $n$ se hace grande.)
Mi pregunta es:
Hay una simple razón intuitiva era de esperar este resultado?
