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Sobre la definición de E8, y la "Geometría de los grupos de Lie" de Rosenfeld

He estado buscando en la literatura una definición directa del grupo $E_8$ (sobre un campo general, pero incluso una definición de una sola encarnación sería genial). Sabía (por hablar con la gente) que probablemente no hay nada disponible, pero estoy confundido sobre un punto.

Por "definición directa", me refiero a algo más que una definición de $E_8$ como un grupo de automorfismos de su propia álgebra de Lie.

Algo prometedor es el "espacio proyectivo octoniónico" $(\mathbb{O} \otimes \mathbb{O} )\mathbb{P}^2$ -- el grupo de isometrías de este último se entiende como una forma de $E_8$ . En su documento sobre los octoniones John Baez lo menciona, pero advierte que $(\mathbb{O} \otimes \mathbb{O} )\mathbb{P}^2$ sólo puede definirse en términos de $E_8$ Por lo tanto, esto es circular, y añade "por desgracia, nadie parece saber cómo definirlo sin definirlo primero". $E_8$ . Por lo tanto, este grupo sigue siendo un poco enigmático".

La existencia del libro Geometría de los grupos de Lie de Boris Rosenfeld me confunde. En él, afirma que construye el avión, llamándolo $(\mathbb{O} \otimes \mathbb{O} ) {\simeq \atop S^2}$ (Ni siquiera puedo reproducirlo bien en Latex). Véase en particular el teorema 7.16.

El problema es que, en este libro, se afirma que cada objeto es definible "por analogía directa" con algún otro objeto, que a su vez no suele estar del todo definido, y así sucesivamente. Tengo muchos problemas para leer el libro de Rosenfeld. Al final (ver 7.7.3) afirma que todo se puede llevar a cabo sobre un campo finito, dando lugar a una definición de $E_8(q)$ . Pero no puedo encontrar los detalles en ningún sitio el caso es que ni siquiera sé si estoy leyendo una encuesta, o un tratamiento completo con pruebas que se me escapan.

¿Alguien en MO conoce el libro de Rosenfeld? ¿O hay alguna referencia alternativa para este misterioso "plano octoniónico"?

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He oído rumores de que el libro de Rosenfeld no llega a definir $(\mathbb O\otimes \mathbb O)\mathbb P^2$ .

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Conozco dos formas básicas de "definir" objetos algebraicos, por ejemplo, grupos. Una es "inductiva": dar generadores y relaciones para el grupo, construyéndolo a partir de piezas más pequeñas/simples. Esto es lo que hace André Henriques a continuación. La otra es "coinductiva": definir el grupo como los automorfismos de algún objeto. Este enfoque es el que menciona Scott Carnahan. Creo que usted está pidiendo ese enfoque. Si es así, la respuesta de Scott es quizás "la mejor", en el sentido de que la construcción más directa (red de raíces) $\to$ (grupo de Lie) pasa por las álgebras de vértice.

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Eschenburg y Hosseini ( 2013 ; pdf ) tienen alguna discusión sobre los "aviones Rosenfeld" $\mathbb{(O\otimes L)P}^2$ para $\mathbb{L\in\{R,C,H,O\}}$ . También relacionado: mathoverflow.net/questions/99736/

20voto

eriko Puntos 140

Esta es una definición fácil y directa de $E_8$ .

El grupo de Lie compacto $E_8$ es el colímite en la categoría de grupos topológicos del siguiente diagrama de grupos $$ {\scriptstyle\begin{matrix} &SU(2)&\\[-1mm] &\downarrow&\\[-1mm] &SU(3)&\\[-1mm] &\uparrow&\\[-1mm] SU(2)\to SU(3) \leftarrow SU(2)&\!\!\!\!\!\to SU(3) \leftarrow SU(2)\to SU(3) \leftarrow\!\!\!& SU(2)\to SU(3) \leftarrow SU(2)\to SU(3) \leftarrow SU(2)\to SU(3) \leftarrow SU(2)\\ \end{matrix}}, $$ modulo el subgrupo normal $N$ generados por conmutadores de no adyacentes $SU(2)$ 's.

A saber: $$ E_8=\mathrm{colim}\left(\scriptstyle\begin{matrix} SU(2)&\!\!\!\!\!\to SU(3) \leftarrow SU(2)\to SU(3) \leftarrow\!\!\!& SU(2)&&SU(2)\\ \downarrow&\downarrow&\downarrow&&\downarrow\\ SU(3)&SU(3)&SU(3)&&SU(3)\\ \uparrow&\uparrow&\uparrow&&\uparrow\\ SU(2)&SU(2)&SU(2)&\!\!\!\!\!\to SU(3) \leftarrow\!\!\!& SU(2) \end{matrix}\right)/N. $$

Aquí, siempre que veamos un subdiagrama $SU(2)\to SU(3) \leftarrow SU(2)$ los dos mapas vienen dados por $\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\big)\mapsto \big(\begin{smallmatrix}a&b&0\\c&d&0\\0&0&1\end{smallmatrix}\big)$ y $\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\big)\mapsto \big(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&a&b\\0&c&d\end{smallmatrix}\big)$ .

Si quieres el grupo de Lie complejo $E_8$ Utilizar $SL(2)$ y $SL(3)$ en lugar de $SU(2)$ y $SU(3)$ 's.

Si quiere que el grupo de $k$ -puntos del grupo algebraico $E_8$ Utilizar $SL(2,k)$ y $SL(3,k)$ 's ( $k$ un anillo arbitrario). [Edición: esto no funciona para anillos arbitrarios - ver los comentarios más abajo].

5 votos

¿Cuáles son los mapas en el único lugar, donde $SU(2)$ entra en 3 $SU(3)$ 's?

5 votos

¿La versión para anillos no implica que $G(E_8, R)$ es generado por su $A_2$ ¿subgrupos del subsistema? Esto no es cierto en general, sino que sólo es válido para algunos anillos específicos, por ejemplo, que satisfagan $\dim(Max(R))\leqslant 2$ .

3 votos

Si esto es "fácil", no me extraña que no lo consiga.

18voto

ricree Puntos 5055

El grupo algebraico $E_8$ es el grupo de automorfismos de la $E_8$ álgebra de vértices de celosía por Frenkel-Kac y Segal. Esta álgebra de vértices tiene una forma integral autodual, por lo que la construcción funciona sobre anillos conmutativos arbitrarios. Para construir el álgebra de vértices, sólo se necesita el rango 8 unimodular $E_8$ de la red, no la de 248 dimensiones $E_8$ Álgebra de Lie.

2 votos

Gran respuesta. Me llevará algún tiempo apreciarla por completo, pero creo que esto era lo que buscaba. Probablemente acepte pronto esta respuesta, pero ya que parece que hay tantos especialistas, permítanme preguntar aún más: ¿alguien sabe cómo construir el edificio $E_8(K)$ directamente? Ayer hubiera apostado a que nadie lo hacía, ¡pero sigo sorprendiéndome!

0 votos

Nótese que el producto 1 sobre los elementos de grado uno de esa álgebra de vértices no es otra cosa que el álgebra de Lie de $E_8$ . Así que esta respuesta no está muy lejos de decir que $E_8$ es el grupo de automorfismo del $E_8$ Álgebra de Lie.

0 votos

@André: mi comprensión de estas álgebras es muy superficial en este momento, pero parece que la construcción del álgebra a partir de la red es relativamente directa. Tengo en mente el "cuadrado mágico" de Tits y otros, donde la construcción del álgebra de Lie E8 es... bueno, no es de mi gusto. Sin embargo, tienes razón. Debería haber cambiado mi pregunta para mencionar que las construcciones bonitas del álgebra de Lie son respuestas aceptables...

13voto

stevemegson Puntos 6741

Recientemente, Lusztig dio una definición mucho más sencilla de $E_8$ (y todas las álgebras/grupos de Lie simples) que evita el habitual problema de signos con la construcción estándar de Chevalley/Serre. Véase Lusztig - Sobre las clases de conjugación en el grupo $E_8$ y Geck - Sobre la construcción de álgebras de Lie semisimples y grupos de Chevalley . Creo que esta construcción de Lusztig no es tan conocida como debería.

0 votos

¿Está relacionado con la construcción (motivada por el vértice de la vara) descrita alrededor de la p. 140 de los siguientes apuntes de un curso de Richard Borcherds? people.brandeis.edu/~syzygy/LieGroups.pdf

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@BS: No estoy seguro de eso. Creo que la construcción de Lusztig proviene de la teoría de las bases canónicas (no de las álgebras de vértice).

6voto

user3545 Puntos 16

Aquí está una de mis definiciones favoritas, que da una construcción de (muchas formas) de $E_8$ así como una plétora de otros grupos excepcionales. Espero que esté bien construir las álgebras de Lie aquí, y que los grupos sean sus grupos de automorfismo.

Comenzar con un campo $k$ de característica cero. Sea $B$ y $C$ sean álgebras de composición sobre $k$ . Es decir, $B$ y $C$ son $k$ -que son isomorfas a $\bar k$ o $(\bar k \times \bar k)$ o $M_2(\bar k)$ o $O_{\bar k}$ (álgebra de octonión dividida sobre $\bar k$ ) después de pasar a un cierre algebraico $\bar k / k$ . Para la división $E_8$ , toma $B = C = O_k$ .

Dejemos que $A = B \otimes_k C$ , visto como un $k$ -con involución, típicamente no asociativa. Para $E_8$ , $A = O_k \otimes_k O_k$ . Se trata de un importante ejemplo de "álgebra estructurante", definida y estudiada por Bruce Allison.

Allison, B. N. , Productos tensoriales de álgebras de composición, formas de Albert y algunas álgebras de Lie simples excepcionales , Trans. Am. Math. Soc. 306, nº 2, 667-695 (1988). ZBL0649.17006 .

Ahora revisaré la construcción de un álgebra de Lie a partir de $A$ , tras el apartado 1 de la citada referencia. Si $x \in A$ , defina $L_x \in End_k(A)$ por $L_x(y) = xy$ . Definir $R_x \in End_k(A)$ por $R_x(y) = yx$ . Definir $V_{x,y} \in End_k(A)$ por $$V_{x,y}(z) = (x \bar y)z + (z \bar y)x - (z \bar x)y.$$

Dejemos que ${\mathfrak g}_0$ sea el $k$ -subespacio de $End_k(A)$ generado por los endomorfismos $V_{x,y}$ para todos $x,y \in A$ . Una identidad clave (para todas las álgebras estructuradas) implica que ${\mathfrak g}_0$ no es sólo un $k$ -subespacio... ¡es un álgebra de Lie!

Mentira ${\mathfrak g}_{\pm 1} = A$ . Sea ${\mathfrak g}_{\pm 2} = A_0 = \{ a \in A : a + \bar a = 0 \}$ . Definir $${\mathfrak g} = {\mathfrak g}_{-2} \oplus {\mathfrak g}_{-1} \oplus {\mathfrak g}_{0} \oplus {\mathfrak g}_1 \oplus {\mathfrak g}_2.$$ Allison define una estructura de álgebra de Lie de 5 grados sobre esta suma directa, directamente a partir de la estructura de álgebra con involución sobre $A$ . Ya hemos visto el soporte Lie en ${\mathfrak g}_0$ . El soporte $[X,Y]$ con $X \in {\mathfrak g}_0$ y $Y \in {\mathfrak g}_1$ es la más obvia. Para el resto, me remitiré a la sección 1 del documento de Allison, ya que es un poco tediosa (y ocupa media página).

De todos modos, para $A = O \otimes O$ , el álgebra estructurante de 64 dimensiones, esto da una construcción explícita de un álgebra de Lie de tipo $E_8$ . En general, se obtiene una bonita construcción de álgebras de Lie de 5 grados... es muy útil para entender las "parabólicas de Heisenberg", por ejemplo.

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Gracias, muy interesante también. Pero tengo que decir que todas las construcciones del álgebra de Lie de $E_8$ utilizando sumas directas de espacios vectoriales y ad hoc Los paréntesis (como el del libro de F. Adams sobre grupos excepcionales) son lo que intento evitar...

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Bueno cada uno tiene su propio gusto. Pero no es realmente "ad hoc". Las construcciones mediante álgebras de Jordan conducen a una comprensión profunda de las álgebras de Lie con parábolas minúsculas. Las construcciones (como las anteriores) mediante álgebras estructurantes conducen a una comprensión profunda de las álgebras de Lie con parábolas de 2 pasos. Dado que todas las álgebras de Lie simples tienen una parábola natural de 2 pasos (parábola de Heisenberg), ¡esto es importante en la práctica!

5voto

sebastiaan Puntos 2910

La definición más directa es probablemente como (la componente de identidad de) el estabilizador de un tensor. Más concretamente, en El octogonal $E_8$ invariante de Cederwall y Palmkvist una forma 8 simétrica explícita $f$ en $\mathbb{R}^{248}$ se construye, teniendo el compacto $E_8$ (tiempos $\{\pm1\}$ ) como estabilizador en $GL(248, \mathbb{R})$ . Además, se muestra en Grupos simples que estabilizan los polinomios por Garibaldi y Guralnick, que cualquier $E_8$ -que no es un múltiplo escalar de la cuarta potencia de la forma de Killing $\kappa$ y que el estabilizador en $GL(248, \mathbb{C})$ es la forma compleja (tiempos $\mu_8$ ). Las 8 formas invariantes se pueden producir a partir de 8 formas arbitrarias promediando con respecto a la medida de Haar (y casi todas ellas no son proporcionales a $\kappa^4$ ).

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