He estado buscando en la literatura una definición directa del grupo $E_8$ (sobre un campo general, pero incluso una definición de una sola encarnación sería genial). Sabía (por hablar con la gente) que probablemente no hay nada disponible, pero estoy confundido sobre un punto.
Por "definición directa", me refiero a algo más que una definición de $E_8$ como un grupo de automorfismos de su propia álgebra de Lie.
Algo prometedor es el "espacio proyectivo octoniónico" $(\mathbb{O} \otimes \mathbb{O} )\mathbb{P}^2$ -- el grupo de isometrías de este último se entiende como una forma de $E_8$ . En su documento sobre los octoniones John Baez lo menciona, pero advierte que $(\mathbb{O} \otimes \mathbb{O} )\mathbb{P}^2$ sólo puede definirse en términos de $E_8$ Por lo tanto, esto es circular, y añade "por desgracia, nadie parece saber cómo definirlo sin definirlo primero". $E_8$ . Por lo tanto, este grupo sigue siendo un poco enigmático".
La existencia del libro Geometría de los grupos de Lie de Boris Rosenfeld me confunde. En él, afirma que construye el avión, llamándolo $(\mathbb{O} \otimes \mathbb{O} ) {\simeq \atop S^2}$ (Ni siquiera puedo reproducirlo bien en Latex). Véase en particular el teorema 7.16.
El problema es que, en este libro, se afirma que cada objeto es definible "por analogía directa" con algún otro objeto, que a su vez no suele estar del todo definido, y así sucesivamente. Tengo muchos problemas para leer el libro de Rosenfeld. Al final (ver 7.7.3) afirma que todo se puede llevar a cabo sobre un campo finito, dando lugar a una definición de $E_8(q)$ . Pero no puedo encontrar los detalles en ningún sitio el caso es que ni siquiera sé si estoy leyendo una encuesta, o un tratamiento completo con pruebas que se me escapan.
¿Alguien en MO conoce el libro de Rosenfeld? ¿O hay alguna referencia alternativa para este misterioso "plano octoniónico"?
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He oído rumores de que el libro de Rosenfeld no llega a definir $(\mathbb O\otimes \mathbb O)\mathbb P^2$ .
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Conozco dos formas básicas de "definir" objetos algebraicos, por ejemplo, grupos. Una es "inductiva": dar generadores y relaciones para el grupo, construyéndolo a partir de piezas más pequeñas/simples. Esto es lo que hace André Henriques a continuación. La otra es "coinductiva": definir el grupo como los automorfismos de algún objeto. Este enfoque es el que menciona Scott Carnahan. Creo que usted está pidiendo ese enfoque. Si es así, la respuesta de Scott es quizás "la mejor", en el sentido de que la construcción más directa (red de raíces) $\to$ (grupo de Lie) pasa por las álgebras de vértice.
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Eschenburg y Hosseini ( 2013 ; pdf ) tienen alguna discusión sobre los "aviones Rosenfeld" $\mathbb{(O\otimes L)P}^2$ para $\mathbb{L\in\{R,C,H,O\}}$ . También relacionado: mathoverflow.net/questions/99736/
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