Sobre la definición de E8, y la "Geometría de los grupos de Lie" de Rosenfeld

Question

He estado buscando en la literatura una definición directa del grupo $E_8$ (sobre un campo general, pero incluso una definición de una sola encarnación sería genial). Sabía (por hablar con la gente) que probablemente no hay nada disponible, pero estoy confundido sobre un punto.

Por "definición directa", me refiero a algo más que una definición de $E_8$ como un grupo de automorfismos de su propia álgebra de Lie.

Algo prometedor es el "espacio proyectivo octoniónico" $(\mathbb{O} \otimes \mathbb{O} )\mathbb{P}^2$ -- el grupo de isometrías de este último se entiende como una forma de $E_8$ . En su documento sobre los octoniones John Baez lo menciona, pero advierte que $(\mathbb{O} \otimes \mathbb{O} )\mathbb{P}^2$ sólo puede definirse en términos de $E_8$ Por lo tanto, esto es circular, y añade "por desgracia, nadie parece saber cómo definirlo sin definirlo primero". $E_8$ . Por lo tanto, este grupo sigue siendo un poco enigmático".

La existencia del libro Geometría de los grupos de Lie de Boris Rosenfeld me confunde. En él, afirma que construye el avión, llamándolo $(\mathbb{O} \otimes \mathbb{O} ) {\simeq \atop S^2}$ (Ni siquiera puedo reproducirlo bien en Latex). Véase en particular el teorema 7.16.

El problema es que, en este libro, se afirma que cada objeto es definible "por analogía directa" con algún otro objeto, que a su vez no suele estar del todo definido, y así sucesivamente. Tengo muchos problemas para leer el libro de Rosenfeld. Al final (ver 7.7.3) afirma que todo se puede llevar a cabo sobre un campo finito, dando lugar a una definición de $E_8(q)$ . Pero no puedo encontrar los detalles en ningún sitio el caso es que ni siquiera sé si estoy leyendo una encuesta, o un tratamiento completo con pruebas que se me escapan.

¿Alguien en MO conoce el libro de Rosenfeld? ¿O hay alguna referencia alternativa para este misterioso "plano octoniónico"?

Answer 1

Esta es una definición fácil y directa de $E_8$ .

El grupo de Lie compacto $E_8$ es el colímite en la categoría de grupos topológicos del siguiente diagrama de grupos $$ {\scriptstyle\begin{matrix} &SU(2)&\\[-1mm] &\downarrow&\\[-1mm] &SU(3)&\\[-1mm] &\uparrow&\\[-1mm] SU(2)\to SU(3) \leftarrow SU(2)&\!\!\!\!\!\to SU(3) \leftarrow SU(2)\to SU(3) \leftarrow\!\!\!& SU(2)\to SU(3) \leftarrow SU(2)\to SU(3) \leftarrow SU(2)\to SU(3) \leftarrow SU(2)\\ \end{matrix}}, $$ modulo el subgrupo normal $N$ generados por conmutadores de no adyacentes $SU(2)$ 's.

A saber: $$ E_8=\mathrm{colim}\left(\scriptstyle\begin{matrix} SU(2)&\!\!\!\!\!\to SU(3) \leftarrow SU(2)\to SU(3) \leftarrow\!\!\!& SU(2)&&SU(2)\\ \downarrow&\downarrow&\downarrow&&\downarrow\\ SU(3)&SU(3)&SU(3)&&SU(3)\\ \uparrow&\uparrow&\uparrow&&\uparrow\\ SU(2)&SU(2)&SU(2)&\!\!\!\!\!\to SU(3) \leftarrow\!\!\!& SU(2) \end{matrix}\right)/N. $$

Aquí, siempre que veamos un subdiagrama $SU(2)\to SU(3) \leftarrow SU(2)$ los dos mapas vienen dados por $\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\big)\mapsto \big(\begin{smallmatrix}a&b&0\\c&d&0\\0&0&1\end{smallmatrix}\big)$ y $\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\big)\mapsto \big(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&a&b\\0&c&d\end{smallmatrix}\big)$ .

Si quieres el grupo de Lie complejo $E_8$ Utilizar $SL(2)$ y $SL(3)$ en lugar de $SU(2)$ y $SU(3)$ 's.

Si quiere que el grupo de $k$ -puntos del grupo algebraico $E_8$ Utilizar $SL(2,k)$ y $SL(3,k)$ 's ( $k$ un anillo arbitrario). [Edición: esto no funciona para anillos arbitrarios - ver los comentarios más abajo].

Answer 2

El grupo algebraico $E_8$ es el grupo de automorfismos de la $E_8$ álgebra de vértices de celosía por Frenkel-Kac y Segal. Esta álgebra de vértices tiene una forma integral autodual, por lo que la construcción funciona sobre anillos conmutativos arbitrarios. Para construir el álgebra de vértices, sólo se necesita el rango 8 unimodular $E_8$ de la red, no la de 248 dimensiones $E_8$ Álgebra de Lie.

Answer 3

Recientemente, Lusztig dio una definición mucho más sencilla de $E_8$ (y todas las álgebras/grupos de Lie simples) que evita el habitual problema de signos con la construcción estándar de Chevalley/Serre. Véase Lusztig - Sobre las clases de conjugación en el grupo $E_8$ y Geck - Sobre la construcción de álgebras de Lie semisimples y grupos de Chevalley . Creo que esta construcción de Lusztig no es tan conocida como debería.

Answer 4

Aquí está una de mis definiciones favoritas, que da una construcción de (muchas formas) de $E_8$ así como una plétora de otros grupos excepcionales. Espero que esté bien construir las álgebras de Lie aquí, y que los grupos sean sus grupos de automorfismo.

Comenzar con un campo $k$ de característica cero. Sea $B$ y $C$ sean álgebras de composición sobre $k$ . Es decir, $B$ y $C$ son $k$ -que son isomorfas a $\bar k$ o $(\bar k \times \bar k)$ o $M_2(\bar k)$ o $O_{\bar k}$ (álgebra de octonión dividida sobre $\bar k$ ) después de pasar a un cierre algebraico $\bar k / k$ . Para la división $E_8$ , toma $B = C = O_k$ .

Dejemos que $A = B \otimes_k C$ , visto como un $k$ -con involución, típicamente no asociativa. Para $E_8$ , $A = O_k \otimes_k O_k$ . Se trata de un importante ejemplo de "álgebra estructurante", definida y estudiada por Bruce Allison.

Allison, B. N. , Productos tensoriales de álgebras de composición, formas de Albert y algunas álgebras de Lie simples excepcionales , Trans. Am. Math. Soc. 306, nº 2, 667-695 (1988). ZBL0649.17006 .

Ahora revisaré la construcción de un álgebra de Lie a partir de $A$ , tras el apartado 1 de la citada referencia. Si $x \in A$ , defina $L_x \in End_k(A)$ por $L_x(y) = xy$ . Definir $R_x \in End_k(A)$ por $R_x(y) = yx$ . Definir $V_{x,y} \in End_k(A)$ por $$V_{x,y}(z) = (x \bar y)z + (z \bar y)x - (z \bar x)y.$$

Dejemos que ${\mathfrak g}_0$ sea el $k$ -subespacio de $End_k(A)$ generado por los endomorfismos $V_{x,y}$ para todos $x,y \in A$ . Una identidad clave (para todas las álgebras estructuradas) implica que ${\mathfrak g}_0$ no es sólo un $k$ -subespacio... ¡es un álgebra de Lie!

Mentira ${\mathfrak g}_{\pm 1} = A$ . Sea ${\mathfrak g}_{\pm 2} = A_0 = \{ a \in A : a + \bar a = 0 \}$ . Definir $${\mathfrak g} = {\mathfrak g}_{-2} \oplus {\mathfrak g}_{-1} \oplus {\mathfrak g}_{0} \oplus {\mathfrak g}_1 \oplus {\mathfrak g}_2.$$ Allison define una estructura de álgebra de Lie de 5 grados sobre esta suma directa, directamente a partir de la estructura de álgebra con involución sobre $A$ . Ya hemos visto el soporte Lie en ${\mathfrak g}_0$ . El soporte $[X,Y]$ con $X \in {\mathfrak g}_0$ y $Y \in {\mathfrak g}_1$ es la más obvia. Para el resto, me remitiré a la sección 1 del documento de Allison, ya que es un poco tediosa (y ocupa media página).

De todos modos, para $A = O \otimes O$ , el álgebra estructurante de 64 dimensiones, esto da una construcción explícita de un álgebra de Lie de tipo $E_8$ . En general, se obtiene una bonita construcción de álgebras de Lie de 5 grados... es muy útil para entender las "parabólicas de Heisenberg", por ejemplo.

Answer 5

La definición más directa es probablemente como (la componente de identidad de) el estabilizador de un tensor. Más concretamente, en El octogonal $E_8$ invariante de Cederwall y Palmkvist una forma 8 simétrica explícita $f$ en $\mathbb{R}^{248}$ se construye, teniendo el compacto $E_8$ (tiempos $\{\pm1\}$ ) como estabilizador en $GL(248, \mathbb{R})$ . Además, se muestra en Grupos simples que estabilizan los polinomios por Garibaldi y Guralnick, que cualquier $E_8$ -que no es un múltiplo escalar de la cuarta potencia de la forma de Killing $\kappa$ y que el estabilizador en $GL(248, \mathbb{C})$ es la forma compleja (tiempos $\mu_8$ ). Las 8 formas invariantes se pueden producir a partir de 8 formas arbitrarias promediando con respecto a la medida de Haar (y casi todas ellas no son proporcionales a $\kappa^4$ ).