Es $\widehat{\mathbb{Z}}[[t]]\cong\widehat{\mathbb{Z}}[[\widehat{\mathbb{Z}}]]$ ?

Question

Sea $\widehat{\mathbb{Z}}[[\widehat{\mathbb{Z}}]] := \varprojlim_{n,m}(\mathbb{Z}/n)[x]/(x^m-1)$ sea el álgebra de grupo completa del grupo libre profinito de rango 1. En el Corolario 5.9.2 de la obra de Ribes-Zalesski Grupos Profinitos afirman que $\widehat{\mathbb{Z}}[[\widehat{\mathbb{Z}}]]\cong \widehat{\mathbb{Z}}[[t]]$ citando un artículo de Lim que no parece demostrar exactamente lo que afirman (aunque estoy seguro de que debe deducirse, si uno está suficientemente familiarizado con la teoría).

Aquí, vamos a tratar de dar $\widehat{\mathbb{Z}}[[t]]$ la topología correspondiente a la topología del producto en $\prod_{n\ge 0}\widehat{\mathbb{Z}}$ indexados por los coeficientes de $t^n, n\ge 0$ .

Me gustaría mostrar directamente que $\widehat{\mathbb{Z}}[[\widehat{\mathbb{Z}}]]\cong \widehat{\mathbb{Z}}[[t]]$ . Si esto es cierto, entonces el mapa debe darse identificando un generador " $x$ "del álgebra de grupo con $1+t$ .

En relación con la topología (de producto) descrita anteriormente sobre $\widehat{\mathbb{Z}}[[t]]$ una base de vecindad de 0 viene dada por los ideales $(n,t^m)$ para $n,m\ge 1$ . Para cada ideal de este tipo, se puede encontrar algún $N,M\ge 1$ tal que el mapa " $x\mapsto 1+t$ "define un mapa cociente $$\widehat{\mathbb{Z}}[[\widehat{\mathbb{Z}}]]\rightarrow(\mathbb{Z}/N)[x]/(x^M-1) \rightarrow \widehat{\mathbb{Z}}[t]/(n,t^m)$$ (esto se deduce de las propiedades de divisibilidad de los coeficientes binomiales). Sin embargo, cuando intento ir en la otra dirección, parece que lo que necesito es - para cada $N,M\ge 1$ para encontrar un $n,m$ tal que $t\mapsto x-1$ induce un mapa $$\widehat{\mathbb{Z}}[t]/(n,t^m)\rightarrow(\mathbb{Z}/N)[x]/(x^M-1) $$ Sin embargo, esto es claramente imposible, ya que $t$ es siempre nilpotente a la izquierda, y sin embargo $x-1$ rara vez es nilpotente a la derecha.

Por lo tanto, o bien la topología "producto" en $\widehat{\mathbb{Z}}[[t]]$ no es suficiente, o el mapa es más complicado que simplemente enviar " $x\mapsto 1+t$ ".

Por otro lado, $\widehat{\mathbb{Z}}[[\widehat{\mathbb{Z}}]]$ es un anillo profinito conmutativo y, por tanto, un producto de anillos locales profinitos conmutativos. Ciertamente admite $\mathbb{Z}_p[[\mathbb{Z}_p]]$ como cocientes para todos los primos $p$ que se sabe que es isomorfo al anillo local $\mathbb{Z}_p[[t]]$ por lo que parece difícil imaginar otra posibilidad para $\widehat{\mathbb{Z}}[[\widehat{\mathbb{Z}}]]$ .

Si resulta que la pregunta titular tiene una respuesta negativa, entonces naturalmente la pregunta es:

$$\text{What are the local direct factors of the profinite ring $ \widehat{\mathbb{Z}}[[\widehat{\mathbb{Z}}]] $?}$$

Answer 1

Me parece que para $p$ prime $\hat{\mathbb Z}[[t]]$ tiene exactamente un homomorfismo continuo de anillo a $\mathbb Z/p\mathbb Z$ mientras que $\hat{\mathbb Z}[[\hat{\mathbb Z}]]$ tiene exactamente $p-1$ tales homomorfismos.

Answer 2

No existe ninguna suryección continua desde $\hat Z[[t]]$ a $(\mathbb Z/3\mathbb Z)[\mathbb Z/2\mathbb Z] = \mathbb Z/3\mathbb Z \oplus \mathbb Z/3\mathbb Z$ .

Answer 3

Puede que haya algunas cosas que comprobar aquí, pero creo que lo siguiente es correcto y debería responder a tu última pregunta.

$\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\Zhat}{\widehat{\mathbb{Z}}}$

Creo que el resultado final es $$\Zhat[[\Zhat]] \cong \prod_q\ZZ_q[[t]]$$ como $q$ abarca todas las potencias primos $p^r$ con $r$ coprimo a $p$ cada uno de los cuales aparece $N_{p,r}$ veces, donde $N_{p,r}$ es el número de órbitas de Frobenius de generadores de $\mathbb{F}_q^\times$

En primer lugar, $\Zhat[[\Zhat]]\cong\prod_p\ZZ_p[[\Zhat]]$ . Para ver esto, observe que en cada $(\ZZ/n)[x]/(x^m-1)$ las potencias primos distintas que dividen $n$ generan ideales comaximales y, por tanto, si $n = \prod_i p_i^{r_i}$ entonces $$(\ZZ/n)[x]/(x^m-1)\cong\prod_i(\ZZ/p_i^{r_i})[x]/(x^m-1)$$

Esta descomposición en cada etapa finita debe extenderse hasta el límite, por lo que basta con analizar $\ZZ_p[[\Zhat]]$ . Sea $$\ZZ' :=\prod_{p'\text{ prime}\\p'\ne p}\ZZ_{p'}$$ entonces como $\Zhat = \ZZ_p\times\ZZ'$ y puesto que $\ZZ_p[A\times B] = \ZZ_p[A]\hat{\otimes}\ZZ_p[B]$ (producto tensorial completo sobre $\ZZ_p$ ), tenemos: $$\ZZ_p[[\Zhat]] = \ZZ_p[[\ZZ_p]]\hat{\otimes}\ZZ_p[[\ZZ']] = \ZZ_p[[t]]\hat{\otimes}\ZZ_p[[\ZZ']]$$ Por definición, $$\ZZ_p[[\ZZ']] = \varprojlim_m \ZZ_p[x]/(x^m-1)$$ donde $m$ es coprimo de $p$ . Puesto que tales $x^m-1$ factores en distintos irreducibles mod $p$ , por el lema de Hensels encontramos que $x^m-1 = \prod_i f_{m,i}$ donde cada $f_{m,i}\mid x^m-1$ y es irreducible en ambos $\ZZ_p[x]$ y $\mathbb{F}_p[x]$ . Estos $f_{m,i}$ son en realidad comaximales por pares (véase esta respuesta ), y por tanto tenemos una descomposición $$\ZZ_p[x]/(x^m-1) = \prod_i \ZZ_p[x]/(f_{m,i})$$ donde cada término del producto es ahora isomorfo a $\ZZ_q$ donde $q = p^{\deg f_{m,i}}$ (es decir, el dominio único no ramificado sobre $\ZZ_p$ de grado $\deg f_{m,i}$ ) Tomando el límite sobre todos $m$ coprimo a $p$ , obtenemos: $$\ZZ_p[[\ZZ']] = \prod_f\ZZ_p[x]/(f)$$ donde $f$ se extiende sobre el conjunto: $$\{f\in\ZZ_p[x] \text{ irreducible} : \exists m\text{ coprime to $ p $ such that } f\mid x^m-1\}$$ Así, obtenemos $$\ZZ_p[[\Zhat]] = \ZZ_p[[t]]\hat{\otimes}\prod_f\ZZ_p[x]/(f)$$ Por la proposición 7.7.5 del libro de Wilson Grupos Profinitos el producto tensorial completo conmuta con arbitraria productos directos, por lo que obtenemos $$\ZZ_p[[\Zhat]] = \prod_f(\ZZ_p[[t]]\hat{\otimes}\ZZ_p[x]/(f))$$ Puesto que cada $\ZZ_p[x]/(f)$ es un finito $\ZZ_p$ -el producto tensorial completado coincide con el producto tensorial habitual (c.f. Ribes-Zalesski prop 5.5.3(d)), por lo que obtenemos $$\ZZ_p[[\Zhat]] = \prod_f(\ZZ_p[[t]]\otimes\ZZ_p[x]/(f)) = \prod_f (\ZZ_p[x]/(f))[[t]] = \prod\ZZ_q[[t]]$$ como $q$ abarca todos los prime-to- $p$ poderes de $p$ que aparecen varias veces en el producto.

Por lo tanto, creo que tenemos un isomorfismo $$\Zhat[[\Zhat]] \stackrel{\varphi}{\longrightarrow}\prod_q\ZZ_q[[t]] = \left(\prod_q\ZZ_q\right)[[t]]$$

Por cada $r$ coprimo a $p$ el número de veces que cada $\ZZ_q = \ZZ_{p^r}$ aparece en el producto es precisamente el número $N_r$ de grado irreducible $r$ factores de $x^{p^r-1}-1$ en $\mathbb{F}_p$ o, lo que es lo mismo, el número de $p$ -órbitas de Frobenius de generadores de $\mathbb{F}_q^\times$ . Sea $a\in\Zhat$ proceden del $[[\cdots]]$ de $\Zhat[[\Zhat]]$ . Entonces, $\varphi(a) = a'(t+1)^{a_p}$ donde $a_p$ es la imagen de $a$ sur $\ZZ_p$ y $a'\in\prod_{p'\ne p}\ZZ_{p'}$ se define del siguiente modo. Para cada $q = p^r$ con $(r,p) = 1$ , dejemos que $\overline{a}$ sea el residuo de $a$ mod $p^r-1$ . A continuación, las imágenes de $a'$ dans le $N_r$ copias de $\ZZ_q$ están en biyección con un conjunto completo de representantes de las órbitas de Frobenius de la primitiva $(q-1)$ raíces de la unidad en $\ZZ_q$ cada uno elevado al $\overline{a}$ -enésima potencia.

En particular, cuando $r = 1$ encontramos que el número de copias de $\ZZ_p[[t]]$ en el producto es precisamente el número de factores lineales de $x^{p-1}-1$ en $\mathbb{F}_p$ que es precisamente $p-1$ . Así, las proyecciones sobre cada uno de estos factores, seguidas del cociente por $(t)$ se obtiene $p-1$ homomorfismos sobre $\ZZ/p\ZZ$ mencionado por Tom Goodwillie, y parece que no puede haber otros.