La prueba de que Pi es una constante (la misma para todos los círculos), sin el uso de límites

Question

Hay una prueba de que la relación de un círculo de diámetro y la circunferencia es la misma para todos los círculos, que no se trata de algún tipo de limitación de proceso, por ejemplo, un directo demostración geométrica?

Answer 1

Los límites no están involucrados en el problema de demostrar que $\pi(C)$ es independiente del círculo $C$.

En las definiciones geométricas de $\pi$, a un círculo $C$ es asociada a una secuencia finita de objetos poligonales y por lo tanto una secuencia de números (o longitud, o zonas, o de sus proporciones de los) $\pi_k(C)$. Esta secuencia está pensado como un conjunto de aproximaciones convergentes $\pi$, pero eso no nos concierne aquí, lo importante es que la secuencia es independiente del círculo C. Cualquier otros aspectos de la secuencia, tales como su límite o la tasa de convergencia también será el mismo para cualquiera de los dos círculos.

(edit: un ejemplo de un "geométrica" definición de una secuencia de approximants $\pi_k(C)$ es: el perímetro de un regular $k$de lados del polígono inscrito en el círculo C, dividido por el diámetro de C. Además, el uso de palabras como límite y la aproximación anterior no refleja cualquier suposición de que las secuencias tienen límites o que un entorno que implican los límites que ha establecido. Estamos demostrando que si $\pi(C)$ se define el uso de algunos de la construcción de la secuencia, ya que implica la construcción de límites o no, debe producir la misma respuesta para cualquiera de los dos círculos.)

La prueba de que $\pi_k(C_1) = \pi_k(C_2)$, naturalmente, sólo hay que aplicar la semejanza de polígonos y el comportamiento de la longitud y el área con respecto a los cambios de escala. Este argumento no suponga un límite basado en la teoría de la longitud y el área, debido a que la teoría de la longitud y el área de polígonos en la geometría Euclidiana sólo requiere disecciones y rígida de las mociones ("cortar y pegar "equivalencia" o equidecomposability). Cualquier poligonal arco o una región puede ser estandarizado a un intervalo o cuadrado de un número finito de (área y la longitud de la conservación) cortar-y-pegar las disecciones. Cálculos numéricos que implican la $\pi_k$, tales como la relación de la particular longitudes o áreas, puede ser entendida como la aplicación de equidecomposability clases de polígonos, o a las estandarizaciones. En ambas interpretaciones, debido a la similitud, los resultados serán los mismos para $C_1$ y $C_2$.

(Usted podría pensar que esto es probar una conclusión diferente, que la equidecomposability versión de $\pi$ para los dos círculos es igual, y no la igualdad numérica de $\pi$ dentro de una teoría que tiene los números reales como las longitudes y las áreas para arbitrario curva figuras. Sin embargo, cualquier número real basado en la teoría, incluyendo elementales de cálculo, Jordania medida, y la medida de Lebesgue, se establece con un mínimo requisito de compatibilidad con el mantenimiento de las operaciones de la disección y rígido movimiento, por lo que una vez equidecomposability es conocido, numérico igualdad de seguir también.)

Answer 2

Intuitivamente, todos los círculos son semejantes y, por tanto, la duplicación del diámetro también se duplica la circunferencia. Lo mismo se aplica a una proporción distinta de 2.

Para hacer este riguroso, tenemos que considerar lo que queremos decir por "la longitud de la circunferencia." La habitual definición rigurosa de los usos de la integración y, por tanto, se basa en la noción de límites. Supongo que cualquier definición rigurosa de la longitud de una curva en última instancia, requiere la noción de límites.

Edit: se Reformula un poco para hacer la conexión entre los dos párrafos más clara.

Answer 3

Parece -por lo que puedo entender lo que estaba haciendo - que incluso Euclides utilizado algún tipo de limitación de proceso (el principio de agotamiento): http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXII/propXII2.html . Lo que Euclides está demostrando aquí es el siguiente: sea $d_1$, $d_2$ ser los diámetros de los dos círculos y $A_1$, $A_2$ sus áreas. Entonces

$$ \frac{A_1} {A_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2} \ . $$

Que es lo mismo que decir que la proporción entre el área de un círculo y el cuadrado de su radio es constante: si $r_1$ y $r_2$ son los radios de nuestros círculos

$$ \frac{A_1}{d_1^2} = \frac{A_2}{d_2^2} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{A_1}{r_1^2} = \frac{A_2}{r_2^2} $$

Es decir, "$\pi$ es constante".

Answer 4

La idea es esta:

Polígonos semejantes inscritos en círculos tienen zonas que son proporcionales a los cuadrados de los diámetros de los círculos. Mediante la aproximación de los círculos de cerca por semejanza de polígonos de más lados, la proporción se realiza a través del círculo como un límite.

Esta es la forma en que fue demostrado por Euclides.

Answer 5

Me encontré con esta prueba una vez http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=68371&tstart=0, aunque no estoy 100% seguro de que la escritura del pi en términos de que el bronceado de un ángulo dado no es circular.