¿Cómo funciona la dualidad de Poincaré interactuar con la Serre espectral de la secuencia?

Question

Supongamos $F^m \to E^{m + n} \to B^n$ es un haz de fibras de cerrado orientado a los colectores. Estoy interesado en la comprensión de cómo la Serre espectral de secuencias homología y cohomology de $E$ interactuar unos con otros a través de la dualidad de Poincaré. Específicamente:

• ¿La dualidad de Poincaré isomorfismo para $E$ (como se dio cuenta de que la pac producto con la clase fundamental) respecto a las filtraciones en $H_*(E)$ e $H^*(E)$ inducida por la filtración en $E$ por los sub-paquetes sobre la $p$-skeleta en $B$? Si este fuera el caso, yo esperaría que $F_*^p$ (en el homológica de filtración) sería doble a $F^{m+n-*}_{n-p}$ (en el cohomological de filtración). Sucede esto?
• La fusión de Poincaré dualidades para $B$ e de $F$ producirá isomorphisms entre el $E_2$-page y el $E^2$página: $E_2^{p,q} \cong E^2_{n-p, m-q}$. Es este isomorfismo inducida a partir de la dualidad de Poincaré en $E$ en alguna manera?
• Significa lo anterior isomorfismo en $E_2$-páginas conmuta con los diferenciales? Hay una dualidad de Poincaré $E_\infty \cong E^\infty$ inducida a partir de la dualidad de Poincaré en el $E_2$-página?

En una pregunta relacionada, Tyler Lawson explica cómo la homología y la cohomology versiones de la Serre espectral de la secuencia (a través de un campo) son duales entre sí en virtud de la universal coeficiente teorema. La observación clave es que dualizing envía exactamente la par que da lugar a la homología de SSS para el exacto par dando lugar a la cohomology SSS. Me gustaría ser capaz de aplicar este principio en esta configuración, salvo que las piezas de la filtración en $E$ no son en general submanifolds de $E$, por lo que yo no sé ni cómo definir una dualidad de Poincaré mapa entre estas mismas parejas.

Answer 1

Después de pensar en esto por un rato, parece que hay una manera satisfactoria de llevar esto a cabo en grupo cohomology el uso de la Hochschild-Serre espectral de la secuencia de un grupo de extensión $$1 \to H \to G \to Q \to 1$$ (a partir de ahora vamos a llamar a esto el HSSS), y desde mi original motivadora de la situación pasó a ser un fibration de asféricas de colectores, esto será suficiente para mis propósitos. Me abstendré de seleccionar esta como la respuesta, sin embargo, ya que todavía estaría curioso saber cómo llevar esto a cabo en la configuración topológica.

Para simplificar, voy a restringir la atención a la trivial coeficiente módulo de $\mathbb Z$. Supongamos que $H$ es $PD_{m}$-grupo, $Q$ es $PD_{n}$-grupo, y $G$ es $PD_{m+n}$-grupo. Capítulo VII de Brown Cohomology de Grupos contiene una construcción de la HSSS. En el homológica configuración, la idea es mostrar que hay una cadena compleja $C$ para que la homología con coeficientes en el complejo de cadena $H_*(Q, C)$ es isomorfo a $H_*(G)$; el HSSS se deriva de una de las filtraciones en el bigraded de la cadena de complejos que subyacen a la definición de $H_*(Q, C)$.

De hecho, dejando $F$ ser un proyectiva resolución de $\mathbb Z$ sobre $\mathbb Z G$ (que puede ser asumida de longitud $m+n$), Brown explica por qué $C = F_H$ es suficiente. Si dejamos $F'$ ser un proyectiva resolución de $\mathbb Z$ sobre $\mathbb Z Q$, el resultado es que el producto tensor de la cadena de complejos de $F' \otimes_Q F_H$ calcula el $H_*(G)$.

Volviendo a cohomology, argumentos similares muestran que la homología de la cochain complejo $$\operatorname{Hom}_Q(F', \operatorname{Hom}_H F, \mathbb Z))$$ está dado por $H^*(G)$.

La observación crucial que es para un $PD_k$grupo $\Gamma$ si $F$ es una resolución proyectiva de longitud finita $k$,, a continuación, $\overline F : = \operatorname{Hom}_\Gamma(F, \mathbb Z \Gamma)$ es también una resolución proyectiva de $\mathbb Z$ sobre $\mathbb Z \Gamma$. (Un punto de vista técnico que explica cómo el cambio en los grados surge es que uno debe de mono con la clasificación en $\overline F$ en la forma correcta).

Podemos aplicar tensor-Hom contigüidad a ver que $$(*)\quad \operatorname{Hom}_Q(F', \operatorname{Hom}_H F,\mathbb Z)) \cong \overline{F'} \otimes_Q \operatorname{Hom}_H F,\mathbb Z) \cong \overline{F'} \otimes_Q (\operatorname{Hom}_H F,\mathbb Z H) \otimes_H \mathbb Z).$$ Como $Q$ es $PD$-grupo por supuesto, podemos usar $\overline{F'}$ como proyectivas de la resolución en el cálculo de $H_*(Q,F_H)$. Lo siguiente afirmación de que después de un ajuste a la calificación, (una parte de) el complejo de cadena $\operatorname{Hom}_H(F,\mathbb Z)$ es débilmente equivalente a $F_H$. Esto se deduce del hecho de que $H$ es también una $PD$-grupo. Más específicamente, la suposición de que $H$ es $PD_m$ grupo es equivalente a la condición de que $H^i(H, \mathbb Z H)$ desaparecer a menos que $i = m$, en cuyo caso debería ser infinito cíclico. Esto dice que la parte $$\operatorname{Hom}_H(F_0, \mathbb Z H) \a \dots \a \operatorname{Hom}_H(F_{m-1}, \mathbb Z H) \a \operatorname{Hom}_H(F_{m}, \mathbb Z H)$$ de la cadena compleja $\operatorname{Hom}_H(F, \mathbb Z H)$ formas una resolución proyectiva de $\mathbb Z$ sobre $\mathbb Z H$, a partir de la cual la demanda de la siguiente manera.

Prestar atención a la bigradings, el $(p,q)$-componente de la mano izquierda en $(*)$ corresponde a la $(n - p, m-q)$-componente a la derecha.

Ahora las propiedades que yo estaba buscando, por encima de la voluntad de seguir automáticamente a partir de la secuencia espectral de la maquinaria.