Esta es la segunda parte de una prueba iniciada por Peter Shor.
Asumo que el conjunto de arcos ya está en una posición como en la respuesta de Pedro: los arcos rojos $(L_1,R_i)$ cíclica ordenado y todo azul arcos son de la forma $(R_i,L_{i-1})$. Para su comodidad, también asumo que no hay dos arcos rojos coinciden (y, por tanto, su $2n$ extremos son distintas). Esto es fácil de lograr por la perturbación. Deje $S$ denota el conjunto de la red de estaciones y $r:S\to\mathbb N$ denotar la cubierta de la multiplicidad por arcos rojos: $r(p)$ es el número de arcos rojos que contienen $p$.
Revisión de los arcos rojos. A continuación, una configuración está determinada por un vector de $n$ multiplicidades $T=(t_1,\dots,t_n)$ donde $t_i$ es el número de copias de un arco azul $(R_i,L_{i-1})$ tenemos. Para tal $T$ y cada una de las $p\in S$, vamos a $b_T(p)$ el número de azul arcos (en la configuración definida por $T$) que contenga $p$. Tenga en cuenta que $b_T$ es lineal en $T$. Por Pedro de observación, tenemos $b_{T_0}(p)=n-r(p)$ para todos los $p\in S$ donde $T_0$ es la norma del vector: $T_0=(1,\dots,1)$.
Tenemos $\sum t_i=n$ por cada admisible vector $T$. Yo reclamo que ninguno de los que resulten de las funciones de $b_T:S\to\mathbb R_+$ estrictamente majorizes cualquier otro. El resultado se sigue de esta afirmación aplicada a $T=T_0$. Para probar la afirmación, basta encontrar una colección de $w:S\to\mathbb R_+$ de pesos no negativos tales que, para cada (potencialmente) arco azul, la suma de los pesos de los puntos cubiertos por este arco es igual a 1. De hecho, si estos pesos se encuentran, tenemos $\sum_{p\in S} w(p) b_T(p)=n$ cualquier $T$, y la demanda de la siguiente manera.
Para la construcción de $w$, considera el estándar que cubre mapa de $f:\mathbb R\to S^1$. En la línea, tenemos un conjunto discreto $\tilde S=f^{-1}(S)$ y una colección de segmentos correspondientes a la pre-imágenes de la potencialmente azul arcos (ambas estructuras se $2\pi$-periódico). Los puntos extremos de los segmentos están en $\tilde S$, y los segmentos están ordenados de izquierda a derecha (ninguno de ellos está contenido en otro). Primero vamos a resolver el problema del peso de la línea. Comience con uno de los segmentos y la marca es extremo derecho. A continuación, tomar el primer segmento contenida en el abierto de la mitad de la línea después de que el punto marcado, y la marca de su extremo derecho. Repita el procedimiento para el nuevo punto marcado, y así sucesivamente. A continuación, cada segmento a la derecha de la primera de ellas contiene exactamente un punto marcado. Vamos a los puntos marcados de peso 1 y todos los demás puntos de peso de 0. Hemos resuelto el pesaje problema en una mitad de la línea.
Observar que el conjunto de los puntos marcados es, finalmente, $2\pi k$- periódico para algún entero $k$. Esto se deduce de la naturaleza determinista de la construcción: una vez de la $x$ y algunos $x+2\pi k$ son ambos marcados, el patrón se repite a sí misma. Por lo tanto, hay un $2\pi k$-peso periódico de la función en toda la línea. Podemos hacer que se $2\pi$-periódico por un promedio de más de $2\pi m$-traducciones, $0\le m<k$. Una vez que se es $2\pi$-periódico, proyectos de ti de nuevo al círculo.
