Disculpas si esta pregunta no es adecuado para MathOverflow; he publicado en MSE aquí , pero no obtener una respuesta y se sentía como que estaba en la cúspide de ser adecuado para aquí.
Después de Ramanujan y Hardy encontrado el infinito de la suma de la representación de la función de partición $p(n)$, Rademacher, fue acerca de la simplificación de sus pruebas; la forma vistos generalmente implica la integración de $\frac{P(q)}{q^{n+1}}$ a lo largo de un círculo centrado en $0$ donde $P(q)=\sum_{n \geq 0} p(n) q^n$. Fijamos un número entero $N$ y considerar la secuencia de Farey de fracciones con denominador en la mayoría de las $N$, que a continuación se divide el círculo en dos partes, "centrado" cada parte en un determinado elemento de esta secuencia de Farey; como $N$ va al infinito (y nuestra radio va a la $1$), esto nos da la infinita suma que queremos.
Más tarde, Rademacher reescribió esta prueba utilizando un contorno diferente a lo largo de la mitad superior del plano (que puede ser enviada a la unidad de disco por $z \mapsto e^{2\pi i z}$). Él integrado a lo largo de la Ford círculos, a partir de a $i$ e ir a $i+1$ con una secuencia de caminos, cada camino que va más allá "abajo", el Ford círculos que antes; él construyó el ford círculos de la $N$th secuencia de Farey, comenzó en la parte superior del círculo más grande, seguido de un arco hasta que llegó el último de tangencia con otro círculo, seguida del círculo a la derecha, etc. En última instancia, conduce a un limpiador de prueba, me gustaría conjeturar acerca de un tercio de la longitud de la original. Sin embargo...
No está claro en absoluto cómo pensó el uso de este método. ¿Por qué Rademacher elegir a integrar a lo largo de la Ford círculos? Es sólo porque son una forma geométrica de mirar las fracciones de Farey (que son clave en el método de círculo), así que él dijo: "bueno, ¿por qué no me dan un tiro"? ¿Por qué funciona tan mágicamente en rápido y limpio integrales y de aproximación? Lo que esencialmente es, en lugar de tener cada uno de los bits del contorno de ser un arco lo suficientemente pequeño para que integramos 'menos' cerca de los más destacados singularidades, lo que permite el contorno de enfoque de las diversas singularidades (y llegar naturalmente más cerca de los que con mayor altura - el 'menos importante' - de más rápido). Es claro que este contorno proporciona el mejor de los límites en la demostración de la infinita suma formulario de $p(n)$, pero de ninguna manera es claro para mí por qué, o cómo Rademacher primero se le ocurrió la idea.
