El divisor atado en los campos de número de

Question

El divisor obligado afirma que para una gran (racional) integer $n \in {\bf Z}$, el número de divisores de $n$ es en la mayoría de las $n^{o(1)}$ as $n \to \infty$. No es difícil demostrar que esta enlazada utilizando el teorema fundamental de la aritmética y algunos análisis elemental.

Mi pregunta se refiere a ¿qué pasa si ${\bf Z}$ es reemplazado por el anillo de los números enteros en algún otro campo de número. En aras de la concreción vamos a trabajar con el simple extensión de ${\bf Z}[\alpha]$ donde $\alpha$ es algunos fijos algebraicas entero. Por supuesto, ahora se puede tener un número infinito de unidades en este anillo, pero si nos restringimos a la altura, a continuación, parece que tenemos un significativo pregunta, a saber:

Pregunta: Vamos a $n \in {\bf Z}[\alpha]$ ser de la altura de la $O(H)$ (con lo que quiero decir que $n$ es un polinomio en $\alpha$ racional con coeficientes enteros de tamaño $O(H)$ y el grado $O(1)$). Es cierto que el número de elementos de ${\bf Z}[\alpha]$ de la altura de la $O(H)$ que dividen $n$ es en la mayoría de las $H^{o(1)}$?

Aquí $o(1)$ denota una cantidad que va de cero $H \to \infty$, manteniendo $\alpha$ fijo. (En realidad, para mis aplicaciones, me gustaria $\alpha$ a no ser fijo, pero para tener una mínima polinomio de limitada grado y los coeficientes del polinomio tamaño en $H$, pero por simplicidad dejar que me pegue a la fija $\alpha$ pregunta primero.)

Es tentador para tomar las normas y aplicar el divisor obligado a la norma, pero luego me presenta la necesidad de acotar el número de elementos en ${\bf Z}[\alpha]$ con una determinada norma y de control de la altura, y no sé cómo hacerlo, excepto para cuadrática extensiones. Una relacionada con el problema viene cuando se trata de explotar única factorización de ideales para responder a este problema. (Por otro lado, me parece de la unidad de Dirichlet teorema de que el número de unidades de altura $O(H)$ es en la mayoría de los polylogarithmic en H, por lo que el problema de la unidad de, al menos, debería desaparecer.)

Answer 1

Mientras se le permite a un número fijo de campo $F = {\bf Q}(\alpha)$ usted puede probar $H^{o(1)}$ como el que más-o-menos sugerir hacia el final, en primer lugar mostrando que el número de los ideales de $F$ que dividen $n$ es $H^{o(1)}$ y luego resulta que cualquier ideal ha $O(\log^r H)$ generadores de altura en la mayoría de las $H$ donde $r = r_1 + r_2 - 1$ es el rango del grupo de la unidad $U_F$ de %de$F$.

La primera parte es básicamente el mismo que el argumento sobre el $\bf Z$. Si el ideal $(n)$ factores en primer poderes como $\prod_i \wp_i^{e_i}$, entonces hay $\prod_i (e_i + 1)$ ideales que dividen $n$. Dado $\epsilon > 0$ hay un número finito de opciones de racional prime $p$ e integer $e>0$ tal que $e+1 > (p^e)^\epsilon$, y por lo tanto sólo un número finito de opciones de un primer $\wp$ de % de $F$ e $e>0$ tal que $e+1$ supera el $\epsilon$ de la potencia de la norma de $\wp^e$. Por lo tanto, $\prod_i \wp_i^{e_i} \ll_\epsilon N^\epsilon$ donde $N$ es el valor absoluto de la norma de $n$. Pero $N \ll H^{[F : {\bf Q}]}$, e $\epsilon$ fue arbitraria, por lo que hemos probado el $H^{o(1)}$ unido.

Para la segunda parte, de Dirichlet da un logaritmo mapa de $U_F \rightarrow {\bf R}^r$ cuyo núcleo es finito (las raíces de la unidad en la $F$) y cuya imagen es un entramado $L$. Una unidad de altura en la mayoría de las $H$ tiene todos sus conjugados de tamaño $O(H)$, por lo que se asigna a una bola de radio $\log(H) + O(1)$. Por lo tanto, no se $O(\log^r(H))$ unidades de altura en la mayoría de las $H$. Mucho el mismo argumento (que implica traducir de $L$) muestra que él mismo límite se aplica también a los generadores de cualquier ideal $I$, ya que la relación de cualquiera de los dos generadores de $I$ es una unidad.

[Veo que "Pitt el viejo" sólo dio la misma respuesta.]