Qué hace que un integrante de una integral?

Question

Recientemente he encontrado toda una categoría de páginas de Wikipedia discutir sobre los diferentes definiciones de la integral. Esto incluye las conocidas definiciones de Riemann y Lebesgue, los menos conocidos pero todavía bien conocidos Stieltjes integrales, y bastante desconocido (pero fresco) definiciones como la de Henstock–Kurzweil integral y la Khinchin integral.

Ahora mi formación es en la física, donde tenemos otro tipo de integración denominada ruta integral (o integración funcional), que sigue siendo, en general mal definido a pesar de muchas décadas de fructífera uso en la física teórica. Naturalmente, uno de mis primeros pensamientos al descubrir la exótica integrales en las citadas páginas de Wikipedia (como Henstock–Kurzweil) era si se podía ayudar a dar a la definición rigurosa a los físicos de la' ruta de las integrales, pero por desgracia no parece que sea el caso.

Pensando en todos estos diferentes tipos de integrales me pregunto:

¿Cuáles son las características comunes de todos estos diferentes tipos de integrales que hacen ellos "integrales"?

En otras palabras, ¿cuáles son los requisitos mínimos para algunos definición matemática a ser una integral? Si tuviera que adivinar, diría que la siguiente es una plausible, aunque imprecisa, de inicio:

Dado un espacio vectorial de las funciones de $V$, una integral definida, $\int$ en este espacio es una función de un subespacio $I\subseteq V$ de "integrar funciones" a un campo de número de $F$, tal que:

1. $\int$ es lineal.
2. $\int$ está de acuerdo con nuestra intuición para ciertas funciones simples. En dimensiones finitas, esto podría ser, por ejemplo, que $\int$ aplicado a la función de indicador de un cubo es el volumen del cubo. En infinitas dimensiones, es posible que prefiera trabajar con Gaussianas en lugar de funciones de los indicadores de los cubos.

Yo estaría tentado a añadir alguna condición sobre la continuidad, pero no estoy seguro de que sería adecuado en infinitas dimensiones (es decir, $\int$ podría ser ilimitado?). Me pregunto si alguien ha tratado de definir las integrales en el resumen a lo largo de estas líneas, o si estas condiciones son más o menos el mínimo "características comunes" de todas las integrales?

Answer 1

Se le da un suelo set $X$, una medida $\mu$ a $X$, un subconjunto $B\subset X$, y una función de $f:\>B\to{\mathbb R}$. Entonces usted quiere saber el "efecto total" implícita por $f$ a $B$, dada la medida de $\mu$. Este "efecto total" se llama la integral de la $f$ sobre $B$, y está diseñado por $$\int_B f(x)\>d\mu(x)\ ,$$ o similar. Esta integral debe tener las propiedades $$\int_B \bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr)\>d\mu(x)=\alpha\int_B f(x)\>d\mu(x)+\beta\int_B g(x)\>d\mu(x)\ ,$$ así como $$\int_B f(x)\>d\mu(x)=\int_{B_1} f(x)\>d\mu(x)+\int_{B_2} f(x)\>d\mu(x)\ ,$$ cuando $B=B_1\cup B_2$, e $B_1$, $B_2$ son "esencialmente" discontinuo. Estas ideas conducen por una función continua $f$ a la instalación $$\int_B f(x)\>d\mu(x)=\lim_\ldots\>\sum_{k=1}^N f(\xi_k)\>\mu(B_k)\ ,$$ donde la $B_k$ son pequeños "esencialmente discontinuo" subconjuntos de $B$, $\>\xi_k\in B_k$ $\>(1\leq k\leq N)$, e $B=\bigcup_{k=1}^N B_k$.

Estas ideas pueden ser realizadas en una de Riemann, Lebesgue, o Henstock-Kurzweil manera, que da como resultado el mismo valor de la integral en todas las situaciones prácticas, pero que difieren en los colectivos de admisible funciones y permitido "límite de teoremas".

Todo tipo de integrales se reúnen en la geometría diferencial o en la física son de este tipo. Las dificultades que encuentro con ellos no tienen nada que ver con Riemann/Lebesgue/Hemstock-Kurzweil, pero con la geometría, álgebra lineal, física o de fondo necesarias para convencerlo de que un interesante ("invariantes") cantidad se calcula en la adoptó el programa de instalación.