Esta es mi forma favorita para responder a su pregunta. Espero que la respuesta a Robert Bryant pregunta es "sí".
Deje $A$ ser el anillo de octonions (el "nonsplit" octonions más de ${\mathbb R}$); viene con una involución $\alpha \mapsto \bar \alpha$, de la cual hay una traza $Tr(\alpha) = \alpha + \bar \alpha$ y una norma $N(\alpha) = \alpha \cdot \bar \alpha$. Por tanto, tenemos un trilineal forma $T: A \otimes A \otimes A \rightarrow {\mathbb R}$ dada por
$$T(\alpha, \beta, \gamma) = Tr( (\alpha \beta) \gamma) = Tr(\alpha (\beta \gamma)).$$
(La multiplicación es no asociativo, pero las huellas de trabajo para el mismo resultado.)
El grupo $Spin(8)$ puede ser construido como el grupo de triples $(g_1, g_2, g_3) \in SO(A,N)^3$ de rotación "matrices" con respecto a la norma cuadrática de la forma, de tal manera que para todos los $(\alpha, \beta, \gamma) \in A^3$,
$$T(g_1 \alpha, g_2 \beta, g_3 \gamma) = T(\alpha, \beta, \gamma).$$
El grupo completo de exterior automorfismos ahora está casi claro -- permutaciones cíclicas de $(g_1, g_2, g_3)$ dar automorfismos de $Spin(8)$ definido anteriormente desde $T(\alpha, \beta, \gamma) = T(\beta, \gamma, \alpha)$.
Edición de abajo para reflejar los comentarios y correspondencia con Daemi, y el comentario de Bryant
El total $S_3$ acción en $Spin(8)$ se obtiene a partir de permutaciones cíclicas y las siguientes ligeramente sutil acción de transposiciones. Deje $C$ el valor del principal de la involución de $A$ (sobre el cual se $Tr(\alpha) = \alpha + C(\alpha)$). Para cualquier $g \in SO(A,N)$, definir $\bar g = C \circ g \circ C$; a continuación, $\bar g \in SO(A,N)$ así.
La acción de una transposición en $Spin(8)$ sigue: para la transposición $(12)(3)$, el asociado exterior automorphism de $Spin(8)$ envía $(g_1, g_2, g_3)$ a $(\bar g_2, \bar g_1, g_3)$. El otro transposiciones acto en el análoga maneras.
La Jordania el álgebra es la excepcional Jordania álgebra de 3x3 Hermitian matrices con octonion entradas:
$$J = \left\lbrace
\left( \begin{array}{ccc}
a & \alpha & \bar \beta \cr
\bar \alpha & b & \gamma \cr
\beta & \bar \gamma & c \\
\end{array} \right) : \alpha, \beta \gamma \en a, a,b,c \in {\mathbb R} \right\rbrace.$$
El grupo $Spin(8)$ actúa sobre el triple de octonions $(\alpha, \beta, \gamma)$ a través de la representación natural desde arriba. Actúa trivialmente sobre los números reales $a,b,c$, y esto le da una acción de $Spin(8)$ sobre el excepcional Jordania álgebra. El exterior automorphism grupo $S_3$ hechos por permuting $(a,b,c)$ e $(\alpha, \beta, \gamma)$ simultáneamente. Juntos, estos dan una acción de $S_3 \ltimes Spin(8)$ sobre el excepcional Jordania álgebra.
Referencia de la actualización:
El material puede encontrarse en mi artículo sobre la $D_4$ formas modulares, Amer. J. de Matemáticas. 128 (2006), 849-898.
La construcción de la $Spin(8)$ (en ${\mathbb Z}$) se sigue de la Proposición 4.8 de M.-A. Knus, R. Parimala, y R. Sridharan, "En las Composiciones y Trialidad," J. reine angew. Math., 457:45-70, 1994.
