Trialidad de Giro(8)

Question

Entre simple Mentira grupos, $Spin(8)$ es la más simétrica uno en el sentido de que $Out(Spin(8))$ es el mayor grupo posible. Una descripción de este exterior automorphism grupos es la siguiente. $Spin(8)$ tiene 2 media spinor representaciones y una representación vectorial (procedente de la norma representación de(8)) todos ellos de dimensión 8. En general uno puede pre-componer una representación de una Mentira grupo con un automorphism de todo el grupo para conseguir otra representación. En este caso especial $Out(Spin(8))$ permutes por encima de los tres representaciones y esto conseguimos un isomorfismo de $Out(Spin(8))$ e $S_3$.

Mis preguntas:

1 - hay alguna manera de ver un automorphism explícitamente que los intercambiadores de la representación vectorial y medio-spinor representación? (Es fácil ver que existe un automorphism. Pero me gustaría tener una construcción explícita de un automorphism.)

2 - al Parecer hay un 27-dimensionla Jordania álgebra que ha $Aut(Spin(8))$ como un subgrupo de su automorphism grupo. ¿Alguien puede explicar lo que es este Jordán álgebra y cómo debo pensar $Aut(Spin(8))$ que actúa sobre él?

Answer 1

Esta es mi forma favorita para responder a su pregunta. Espero que la respuesta a Robert Bryant pregunta es "sí".

Deje $A$ ser el anillo de octonions (el "nonsplit" octonions más de ${\mathbb R}$); viene con una involución $\alpha \mapsto \bar \alpha$, de la cual hay una traza $Tr(\alpha) = \alpha + \bar \alpha$ y una norma $N(\alpha) = \alpha \cdot \bar \alpha$. Por tanto, tenemos un trilineal forma $T: A \otimes A \otimes A \rightarrow {\mathbb R}$ dada por $$T(\alpha, \beta, \gamma) = Tr( (\alpha \beta) \gamma) = Tr(\alpha (\beta \gamma)).$$ (La multiplicación es no asociativo, pero las huellas de trabajo para el mismo resultado.)

El grupo $Spin(8)$ puede ser construido como el grupo de triples $(g_1, g_2, g_3) \in SO(A,N)^3$ de rotación "matrices" con respecto a la norma cuadrática de la forma, de tal manera que para todos los $(\alpha, \beta, \gamma) \in A^3$, $$T(g_1 \alpha, g_2 \beta, g_3 \gamma) = T(\alpha, \beta, \gamma).$$

El grupo completo de exterior automorfismos ahora está casi claro -- permutaciones cíclicas de $(g_1, g_2, g_3)$ dar automorfismos de $Spin(8)$ definido anteriormente desde $T(\alpha, \beta, \gamma) = T(\beta, \gamma, \alpha)$.

Edición de abajo para reflejar los comentarios y correspondencia con Daemi, y el comentario de Bryant

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El total $S_3$ acción en $Spin(8)$ se obtiene a partir de permutaciones cíclicas y las siguientes ligeramente sutil acción de transposiciones. Deje $C$ el valor del principal de la involución de $A$ (sobre el cual se $Tr(\alpha) = \alpha + C(\alpha)$). Para cualquier $g \in SO(A,N)$, definir $\bar g = C \circ g \circ C$; a continuación, $\bar g \in SO(A,N)$ así.

La acción de una transposición en $Spin(8)$ sigue: para la transposición $(12)(3)$, el asociado exterior automorphism de $Spin(8)$ envía $(g_1, g_2, g_3)$ a $(\bar g_2, \bar g_1, g_3)$. El otro transposiciones acto en el análoga maneras.

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La Jordania el álgebra es la excepcional Jordania álgebra de 3x3 Hermitian matrices con octonion entradas: $$J = \left\lbrace \left( \begin{array}{ccc} a & \alpha & \bar \beta \cr \bar \alpha & b & \gamma \cr \beta & \bar \gamma & c \\ \end{array} \right) : \alpha, \beta \gamma \en a, a,b,c \in {\mathbb R} \right\rbrace.$$

El grupo $Spin(8)$ actúa sobre el triple de octonions $(\alpha, \beta, \gamma)$ a través de la representación natural desde arriba. Actúa trivialmente sobre los números reales $a,b,c$, y esto le da una acción de $Spin(8)$ sobre el excepcional Jordania álgebra. El exterior automorphism grupo $S_3$ hechos por permuting $(a,b,c)$ e $(\alpha, \beta, \gamma)$ simultáneamente. Juntos, estos dan una acción de $S_3 \ltimes Spin(8)$ sobre el excepcional Jordania álgebra.

Referencia de la actualización:

El material puede encontrarse en mi artículo sobre la $D_4$ formas modulares, Amer. J. de Matemáticas. 128 (2006), 849-898.

La construcción de la $Spin(8)$ (en ${\mathbb Z}$) se sigue de la Proposición 4.8 de M.-A. Knus, R. Parimala, y R. Sridharan, "En las Composiciones y Trialidad," J. reine angew. Math., 457:45-70, 1994.

Answer 2

Además de las anteriores respuestas relacionadas con spinors y/o octonions, usted podría estar interesado en Cartan de la construcción original de la trialidad automorfismos, que es muy explícito y se tarda sólo un par de páginas en su pequeño y hermoso papel Le principe de dualité et la théorie des grupos simples et semi-simples (de Toro. Sc. Matemáticas 49 (1925), 361-374). La descripción se encuentra en la Sección 5 de este artículo, principalmente en las páginas 368 y 369, aunque probablemente usted estará interesado en la muy geométrica de la construcción que se hace a interpretar el exterior de automorfismos en las secciones finales 6 y 7 de ese artículo.

La principal diferencia de lo que se ha dicho en la respuesta hasta ahora es que, en lugar de construir spinors (que, por supuesto, él ya sabía que hacer en ese momento), Cartan trabaja en el centerless simple grupo de $G = \mathrm{SO}(8)/\lbrace\pm\mathrm{I}\rbrace$ (lo que él llama el "adjoint grupo' de $\mathrm{SO}(8)$), ya que la trialidad automorfismos en realidad actúan en $G$, y no sólo en su Mentira álgebra. Luego utiliza una inteligente elección de la notación para escribir una acción explícita de $S_3$, el grupo simétrico de $3$ letras, en la Mentira de álgebra de $G$ de tal manera que estos automorfismos son Mentira álgebra automorfismos que preservar la obvia máxima toro, y sin embargo están exterior porque no vienen desde el grupo de Weyl.

Otra gran fuente, por supuesto, es Chevalley del pequeño y hermoso libro de La teoría algebraica de spinors (1954), el último capítulo de lo que es todo acerca de la trialidad. Él se esfuerza en hacer todo lo más general a los campos, por lo que es un tratamiento útil.

Finalmente, Cartan también escribió sobre el empate de trialidad con $\mathrm{F}_4$ actuando irreducible en el $26$-dimensional espacio de traceless $3$a$3$ Hermitian octonian matrices en la Sección V de su papel Sur des familles remarquables d'hypersurfaces isoparamétriques dans les espaces sphériques (de Matemáticas. Zeitschrift 45 (1939), 335-367). El pasaje se encuentra en las páginas 354 y 355, donde se explica la construcción.

Answer 3

No tengo tiempo para mirar a la matemática, pero usted debe tomar una mirada en el clásico pequeño papel $Spin(8)$, trialidad, $F_4$, y todos los que, por Frank Adams. Es en Superspace y supergravedad, Cambridge University Press, 1981. (También en el Volumen II de Adams' obras completas). Se inicia con la identificación de la automorphism grupo de $Spin(8)$ con el grupo simétrico $\Sigma_3$ y tiene la construcción de la excepcional Jordania álgebra de dimensión 27.

Answer 4

@Marty: Gracias por tu respuesta. Yo no era consciente de la existencia de este tipo de construcción de $Spin(8)$ y se hace claro para mí algunas de las propiedades de la misma. Yo sólo creo acción de outomorphism grupo no es sólo permuting $g_1$, $g_2$, y $g_3$, pero implica tomar algunas conjugación así. Por ejemplo: $$(g_1,g_2,g_3) \to (\bar{g}_1,\bar{g}_3,\bar{g}_2)$$ es un automorphism en su descripción de la $Spin(8)$, mientras que: $$(g_1,g_2,g_3) \to (g_1,g_3,g_2)$$ no es. Yo estoy en lo correcto o me estoy haciendo un error estúpido.

Esta construcción le da un buen levantamiento de $Out(Spin(8))$ a $Aut(Spin(8))$. Me gustaría tener un ascensor para que los puntos fijos de su acción en $Spin(8)$ es solo elemento de identidad. Pero el ascensor de esta construcción no tiene esta propiedad. ¿Crees que puedo cambiar esta elevación por algunas interior de automorfismos que al final del día puedo obtener mi deseada de la elevación?