Un colega, Nicolas Broutin, que no está en MO, me señaló un reciente "informe preliminar" de Gábor Pete, sobre el trabajo conjunto con Christophe Garban y Oded Schramm, en el aumento del límite de la MST. En las referencias de la nota que me encontré con un papel de Aizenmann et.al. que contiene la siguiente información sobre un definido adecuadamente (subsequential) escala límite de la MST (no voy a entrar en la definición precisa de la escala de límite ya que no es particularmente importante para esta respuesta):
Las ramas de todos los árboles en $\mathcal{F}(\omega)$ son curvas aleatorias $\mathcal{C}$ con Hausdorff dimensiones delimitadas por encima y por debajo de: $d_{\mathrm{min}} \leq \mathrm{dim}~\mathcal{C} \leq d_{\mathrm{max}}$, para algunos no aleatorios $1 < d_{\mathrm{min}} < d_{\mathrm{max}} < 2$.
Un par de comentarios están en orden.
En primer lugar, el papel, de hecho, muestra que este resultado se cumple para cualesquiera de los tres modelos: uniforme de árbol de expansión en la red (el límite es como el espaciado reticular va a cero); mínimo árbol de expansión en el enrejado con iid uniforme de bonos de pesos (este es el que más naturalmente conectado con la percolación); y en tercer lugar, la Euclídea MST en un punto del proceso de Poisson con intensidad $r$ (donde el reescalado límite es $r \to \infty$ adecuadamente). La última de estas es la que más directamente conectado con mi pregunta.
Segundo, la razón de "todos los árboles" es porque la escala límite es, de hecho, se describe en términos de un graduado de la colección finita de árboles que abarca cualquier conjunto finito de puntos en un punto de compactification de $\mathbb{R}^2$, y la satisfacción de cierta consistencia condiciones. En el documento muestran que la colección también se convierte en "describir un solo árbol de expansión" en el sentido de que para los conjuntos de puntos en $\mathbb{R}^2$ (es decir, sin incluir el punto en el infinito), el árbol en $\mathcal{F}(\omega)$ abarca ellos se mantenga dentro de algunos región finita en $\mathbb{R}^2$. (Edit: esta explicación de "todos los árboles" sustituye a una anterior falsa explicación que se basa en un overhasty la lectura de los resultados.)
En tercer lugar, dado la respuesta y los comentarios de Bill Thurston, esto sugiere que el diámetro de hecho, deberían escala, como los de $n^{\alpha}$ para algunos $1/2 < \alpha < 1$. (Aunque, inspirado por Peter Shor comentario, también puedo mencionar que no es un a priori de la regla de fuera de escala el comportamiento de la forma $n^{\alpha}\log^{\beta} n$.)
