¿Por qué son Tamagawa números igual a Pic/Sha?

Question

Para la conexión de un algebraica de grupo $G$ sobre un campo global $K$ con adeles $A$, el Tamagawa número de $G$ es el volumen de $G(A)/G(K)$. Se cree (y a menudo conocido) para ser racional, es decir, el cociente de la orden de la Picard grupo dividido por el orden de la Tate-Shafarevich conjunto.

Hay una explicación simple para la aparición de estos enteros? Por ejemplo, ¿hay algún objeto natural que resulta el volumen 1 que se divide en partes iguales, indexado por TS, y luego copias indexado por el Cfp vuelva a ensamblar para formar $G(A)/G(K)$? Usted puede lanzar en paquetes donde las fibras tienen volumen 1, si es necesario.

Answer 1

Asumo $G$ es afín. La respuesta rápida es que en el simplemente se conecta caso dice $1 = 1/1$ por varios ingredientes, y luego es un tipo de (no es fácil) con juego de Galois cohomology y teoría de la estructura de semisimple grupos para revisar ambos lados tienen el mismo comportamiento que construimos un general $G$ desde el simplemente se conecta caso (con la ayuda de la clase de teoría del campo a tratar con tori).

Vamos a abordar los campos de número de $K$ en más detalle (el caso de la función global de campos tiene una variedad de complicaciones graves). Desde $K$ es perfecto, el geométrica unipotentes radical desciende a un suave conectado unipotentes normal $K$-subgrupo $U$ en $G$, con $G/U$ reductivo. Ahora $U$ es $K$-split (composición de la serie sobre $K$ con los sucesivos cocientes $\mathbf{G}_a$), por lo que su subyacente variedad es un espacio afín sobre $K$. Porque estamos en el carácter 0, el cociente mapa de $G \rightarrow G/U$ admite un homomórfica de la sección, es decir, que la $G = U \rtimes (G/U)$ as $K$-grupos (para un adecuado semi-directa de la estructura del producto). Por lo tanto, ${\rm{Pic}}(G) = {\rm{Pic}}(G/U)$. Asimismo, el Tate-Shafarevich conjuntos para $G$ e $G/U$ partido, porque los semidirect la estructura del producto se asegura de que el pullback en la ${\rm{H}}^1$s'es bijective más de $K$, y sus terminaciones. El Tamagawa números coinciden, por el comportamiento de Tamagawa números exactos de las secuencias (ver Oesterle la obra maestra de papel) y el hecho de que Tamagawa número de $\mathbf{G}_a$ está aparejada para ser 1 por definición. OK, por lo que podemos centrarnos en el caso de los contenidos, que es reductiva $G$.

Para tori, uno utiliza el trabajo de Ono y sus refinamientos (edificio de la Tate-Nakayama la dualidad de tori, etc.) Todo esto es en Oesterle del papel demasiado. En general, no hay una etale (central) isogeny $Z \times G' \rightarrow G$ donde $G'$ es semisimple y simplemente conectado. Por los argumentos con Galois cohomology y campo de clase de teoría, uno tiene que mostrar que la validez de la fórmula se puede tirar hacia abajo a $G$ de $Z \times G'$ (en el caso de la clave de ser isogenies entre conectada semisimple grupos); este tipo de cosas se aborda un poco en Voskresenskii la encuesta de papel "Adele grupos y Siegel-Tamagawa fórmulas".

Así que, finalmente, estaremos ante el caso al $G$ es semisimple y simplemente conectado. Por lo tanto, $G = \prod G_i$ para $K$-factores simples, y, a continuación, $G_i = {\rm{Res}}_{K_i/K}(H_i)$ finitas (separable) extensiones $K_i/K$ y absolutamente simple y simplemente se conecta $H_i$. Tamagawa números son invariantes bajo Weil restricciones (una vez más, ver Oesterle del papel) y conmuta con los productos, por lo que la afirmación $\tau_G = 1$ reduce a lo absolutamente simple caso, que era una de las conjeturas de Weil resuelto por Langlands, Lai, y Kottwitz. Por Shapiro del Lema, de la trivialidad, de la Tate-Shafarevich también se reduce a lo absolutamente simple caso, donde es el famoso "principio de Hasse", debido a que muchas personas durante muchos años. Finalmente, la trivialidad de la Pic es manejado por referentes de la línea de paquetes conectado semisimple grupos a central extensiones $\mathbf{G}_m$ (esto requiere algunas aportaciones desde la teoría de la estructura de semisimple grupos, con la ayuda de Galois descenso a pasar para el caso de división de los grupos, para que la estructura de la celda abierta nos permite copiar algunos de los argumentos utilizados para el estudio de la foto de abelian variedades). Aprovechamos la simple conexión por la siguiente observación elemental: si $E$ es una extensión central de simplemente conectada $G$ por $\mathbf{G}_m$ entonces es reductiva y, por tanto, $D(E) \rightarrow G$ es un central isogeny, por lo tanto un isomorfismo porque $G$ es simplemente conectado. Así que listo, el central de extensión se divide, y por lo tanto Pic($G$) = 1 en el simplemente se conecta caso. (Que en realidad es bastante notable: el anillo de coordenadas de un simplemente conectado semisimple grupo es una unidad flash usb. No es obvio!)

Answer 2

He encontrado el Sha parte de la respuesta en Voskresenskii del libro.

Estoy buscando a un cociente y quiero cohomology a aparecer. Cohomology es la obstrucción de las invariantes de ser exacta, así que me debe levantar esta a un cociente de Galois de los módulos. $G(\bar K)$ tiene un Galois de acción, como lo hace la $G(A_K\otimes \bar K)$. Su cociente $Q$ tiene puntos fijos $Q(K)=(G(A_L)/G(L))^{Gal(L/K)}$, donde $L$ es una división de campo. El largo de la secuencia exacta en cohomology $$0\G(K)\G(A_K)\a P(K)\H^1(K;G)\a H^1(K;G(A_{-}))=\prod H^1(K_\nu;G)$$ muestra que $Q(K)$ difiere de $G(A_K)/G(K)$ por exactamente el Tate-Shafarevich grupo.

En el toro caso, en el estudio de la insuficiencia de multiplicativity de el Tamagawa número de extensiones $T'\to T\to T''$. El sheafified cociente $Q_{T'}(K)$ natural aparece como el (máximo posible) núcleo de $T(A)/T(K)\to T''(A)/T''(K)$. Así que es mejor mirar el $Q_{T'}(K)\to Q_T(K)\to Q_{T''}(K)$. Esto es aún no exacta, por lo $H^1(K;Q_T)$ entra, que Nakayama dualidad dice que es Pontrjagin doble a $Pic(T)$. Esto, quizá, es decir que se debe formar un $Pic(G)^*$ gerbe más de $Q_G$?

Todavía tengo alguna esperanza para una explicación geométrica para el grupo de Picard.