Doble de limitada uniforme de funciones continuas

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico, y deje $C_u(X)$ ser el espacio de Banach de limitada uniforme de funciones continuas en $X$ (con el uniforme de la norma). ¿Cómo puedo caracterizar su espacio dual $C_u(X)^*$?

Me imagino que puede ser descrito como un poco de espacio de las medidas. Me interesaría en el caso de $X=\mathbb{R}$.

Obviamente si $X$ es compacto, este es sólo el de la firma (o complejo) medidas de Radón en el Borel $\sigma$-álgebra de $X$. Si $d$ es un discreto métrica, a continuación, todos hemos finitely aditivo medidas en $X$. Pero más en general, no sé.

Edit: Si $C_b(X)$ es el espacio de Banach de todos los delimitada funciones continuas en $X$, que por supuesto tienen $C_u(X) \subset C_b(X)$ como un subespacio cerrado, y sabemos que $C_b(X)^*$ puede ser identificado con el espacio finito, regular, finitely aditivo firmado Borel medidas en $X$. Sin duda cada medida nos da una funcional lineal continua en $C_u(X)$, por lo que tenemos un mapa de $C_b(X)^* \to C_u(X)^*$ que es el mapa de restricción, pero no es inyectiva. Por el contrario, por Hahn-Banach cada delimitada lineal funcional en $C_u(X)$ se extiende a un almacén lineal funcional en $C_b(X)$, pero no en una forma canónica.

También, es claro que, en general, $C_u(X)^*$ contiene algo más que la countably aditivo medidas, ya que por ejemplo, si $X=\mathbb{R}$ contiene algunos de Banach límites. Así tenemos todos los countably aditivo finito de Radón medidas, pero no todos los finitely aditivo finito regular las medidas. Esta es la razón por la que me imagino que $C_u(X)^*$ se compone de todos los finitely aditivo medidas de la satisfacción de alguna condición que es más que los "regulares", pero menos que "countably aditivo". Pero no tengo idea de lo que podría ser.

Como se ha mencionado en los comentarios, me alegra saber acerca de trivial casos especiales: $X$ localmente compacto, $X$ completo y separable, etc.

Answer 1

$C_u(\mathbb R)^*$ es esencialmente el espacio de las medidas complejas $\beta \mathbb Z\coprod (\beta\mathbb Z\times(0,1)).$ Aquí $\beta \mathbb Z$ es la Piedra Čech compactification de $\mathbb Z,$ e las $\coprod$ denota discontinuo de la unión.

Uno puede identificar a $C_u(\mathbb R)$ con $C_0(\beta \mathbb Z \coprod (\beta \mathbb Z\times (0,1)))$, de la siguiente manera: para $f\in C_u(\mathbb R),$ y escribir $f=g+h$ donde $g(n)=0$ para todos los $n\in \mathbb Z$ e $h$ es continua y lineal, en cada intervalo de $[n,n+1].$ identificaremos $g$, con una función de $\tilde g:\beta \mathbb Z\times [0,1]\to \mathbb C$, de la siguiente manera: desde $f:\mathbb R\to \mathbb C$ es uniformemente continua, las funciones de $g|_{[n,n+1]}, n\in \mathbb Z$ forma un equicontinuous de la familia, considerada como funciones de $g_n\in C([0,1]).$ Por Arzelà-Ascoli, el conjunto $\{g_n:n\in \mathbb Z\}$ es precompact en el uniforme de la topología. Por la característica universal de $\beta \mathbb Z$, existe una única función continua $\varphi: \beta \mathbb Z\to C([0,1])$ tal que $\varphi(n)=g_n$ para $n\in \mathbb Z.$ Ahora la función de $\tilde g(x,y):=\varphi(x)(y)$ es una función continua de $\beta \mathbb Z\times [0,1]$ a $\mathbb C$; la articulación de continuidad se obtiene de nuevo la aplicación de equicontinuity de la familia $\{\varphi(x):x\in \beta\mathbb Z\}.$

Hemos identificado $f$ con un par $(\tilde g, h),$ donde $\tilde g: \beta \mathbb Z\times [0,1]\to \mathbb C$, $\tilde g(x,0)=\tilde g(x,1)=0$ para todos los $x\in \beta \mathbb Z,$ e $h:\mathbb R\to \mathbb Z$ está determinado por la secuencia de los valores de $h(n),n\in \mathbb Z.$ Es fácil comprobar que cada par de $(\tilde g, h)$ únicamente determina una función $f\in C_u(\mathbb R)$ por $f(n+x)=\tilde g(n,x)+h(n+x), x\in [0,1), n\in \mathbb Z.$

Si utilizamos la norma $|(\tilde g, h)|:=|\tilde g|+|h|$ (estos son sup normas), la identificación de $f\leftrightarrow (\tilde g,h)$ es una identificación de $C_u(\mathbb R)$ con $C_0(\beta \mathbb Z \coprod (\beta \mathbb Z\times (0,1))),$ como espacios de Banach.

Así que parece que la búsqueda de un no-elemento obvio de $C_u(\mathbb R)^*$ es más o menos equivalente a la búsqueda de un no-elemento obvio de $C_b(\mathbb Z)^*,$ como Greg predicho.

Answer 2

Parte de $C_u(X)^*$ es bien entendido. Cada uniformemente continua la función en $X$ uniqely se extiende a la finalización de la $\bar{X}$, así que sin duda alguna firmado medida de Borel en $\bar{X}$ es un continuo funcional en $C_u(X)$. Si $\bar{X}$ es compacto, entonces estás listo. Más allá de eso, no creo que mucho se puede decir. Por ejemplo, si $X = \mathbb{Z}$, entonces cada delimitada la función en $X$ es uniformemente continua. Por lo $C_u(\mathbb{Z})^*$ es el conjunto de medidas sobre el Stone-Cech compactification $\beta\mathbb{Z}$ de % de$\mathbb{Z}$. Es bien sabido que no se puede construir puntos en $\beta\mathbb{Z} \setminus \mathbb{Z}$ sin el axioma de elección, o alguna otra extensión de ZF. Que por sí mismo no implica que no se puede construir explícitamente funcionales en $C_u(\mathbb{Z})^*$ otras de las combinaciones lineales de los valores, pero creo que eso no es posible.

Por otra parte, $C_u(\mathbb{Z})$ incrusta como cerrado de Banach subespacio de $C_u(\mathbb{R})$, por ejemplo, tomando el modelo lineal por tramos de extensión de un almacén de la función en $\mathbb{Z}$. Así que debe haber muchos que no son evidentes funcionales en $C_u(\mathbb{R})^*$ que restringir a no evidente funcionales en $C_u(\mathbb{Z})^*$. Este tipo de argumento se aplica a un montón de espacios métricos. Se aplica a cualquier espacio métrico que tiene una acotada uniformemente continua mapa a $\mathbb{R}$, es decir, todo sin límites de espacio métrico. En detalle, vamos a $X$ ser un ilimitado espacio métrico con un punto de base $x$, y deje $S$ ser un conjunto infinito de distancias de $x$ a otros puntos, tales que cualquiera de los dos elementos de $S$ tienen al menos 1 aparte. A continuación, un almacén de la función en $S$ se extiende a $\mathbb{R}$ por interpolación lineal (y constante de extrapolación por debajo del mínimo de $S$). Con esta función, $f(t)$ tira de nuevo a la función de $f(y) = f(d(x,y))$ a $X$. Este es un cerrado la incorporación de la $C_u(S)$ a $C_u(X)$, e $C_u(S)^* = C(S)^*$ es salvaje, excepto para los funcionales que son combinaciones lineales de los valores en $S$.

Esto no es una prueba concluyente de que $C_u(\mathbb{R})^*$ (por ejemplo) no tiene ninguna no-obvio funcionales en todo lo que puede ser construido dentro de ZF. Pero yo apuesto a que esto es cierto.

Answer 3

Esta es una tardía respuesta a su consulta, más de un comentario, pero demasiado tiempo para eso y, de todos modos, yo no tengo esa opción.

En primer lugar, existe un concepto de una compactification que juega para la métrica espacios el mismo papel que el de Stone-Cech compactification completamente regular espacios (incluso funciona con uniforme de espacios). Es el llamado Samuel compactification y las medidas que usted está buscando son las medidas de Radón en este conjunto compacto (que contiene el espacio original en una forma canónica). En funcional analítica de los términos es el espectro de la álgebra de Banach que está utilizando---el delimitada, uniforme de funciones continuas en el espacio métrico (de nuevo, más generalmente, espacio uniforme---de hecho, creo que la categoría de uniforme espacios es el más natural para tu pregunta).

Que tipo de sospecha que usted está buscando maneras de obtener buenos espacios de medidas (o espacios de niza medidas) como duales de espacios de limitada continua o uniforme de funciones continuas. Si es así, esto ha sido investigado en detalle. En el caso de funciones continuas esto se logra mediante el llamado estricto de la topología (introducido originalmente por Buck localmente compacto espacios, entonces generalizada completamente regular espacios por varios matemáticos, en los años 70). Pachl (en el Pac. J. Math. el papel de las "Medidas como funcionales en uniforme de funciones continuas"---disponible en línea) hizo algo similar para las medidas en el uniforme de los espacios---los llamó medidas uniformes. En particular, demostró un profundo teorema de compacidad en este espacio---un teorema que no es tan conocido como debería ser.

Un enfoque unificado para estos temas se puede encontrar en el libro "Saks Espacios y Aplicaciones para el Análisis Funcional".