La palabra problema para el grupo fundamental de la submanifolds de la 4-esfera

Question

Dado cualquier finitely-presentado el grupo $G$, hay un par de técnicas equivalentes para la construcción de lisa/PL 4-colectores $M$ tal que $\pi_1 M$ es isomorfo a $G$. Para la mayoría de las construcciones de estos de 4 colectores, se insertan de forma natural en $S^5$ (como el límite de regular los barrios de $2$-complejos en $S^5$.)

Pregunta: ¿hay alguna suave/PL 4-dimensional submanifolds $M$ de % de $S^4$ tal que $\pi_1 M$ tiene una irresoluble problema de palabras? $M$ sería, por supuesto, tiene que ser un liso $4$-colector con los no-vacío límite.

Soy consciente de que hay varias construcciones y obstrucciones a la $2$-complejos de la incrustación en el $S^4$. Por otra parte, he escuchado algunas de las técnicas de construcción de caer en la domar topológico mundo y no puede ser smoothable. La condición dada por Kranjc (que $H^2$ de la 2-complejo es cíclico) es generalmente un no-computable condición para un grupo con no solucionable palabra problema. Aunque, tal vez hay muchos grupos con los que no tienen solución palabra problema y $H^2$ trivial. El más cercano a las referencias sobre el tema, que yo sepa:

M. Kranjc, "la incorporación de un 2-complejo K en R^4 cuando H^2(K) es un grupo cíclico," Pac. J. Math. 150 (1991), 329-339.

A. Shapriro, "Obstáculos a la involucración de un complejo en el espacio Euclidiano, I. La primera obstrucción," Ann. de Matemáticas., 66 Nº 2 (1957), 256--269.

edit: Gracias por los comentarios de la gente. Ahora que estoy de vuelta en Canadá con adecuado de internet (+MathSciNet) el acceso, me hice un poco de investigación y encontré esto:

A. Dranisnikov, D. Repovs, "Incrustaciones hasta homotopy tipo en el Espacio Euclidiano" Bull. Austral. De matemáticas. Soc (1993).

Ellos muestran que cualquier finitely-presentado el grupo es el grupo fundamental de un 2-dimensional poliedro en $\mathbb R^4$. Esto fue al parecer una pregunta de Matías Kreck del.

Y sí, Sam Nead, esta pregunta fue en parte motivada por la preocupación de que 2 nudos podría haber indecidible problemas de palabras para los grupos fundamentales de sus complementos. He estado pensando acerca de la fundamental grupos de 2-nudo complementa recientemente, y esto es una preocupación.

Answer 1

Actualización:

Mi memoria era muy borrosa acerca de esto cuando originalmente me respondió.

Ver González-Acuña, Gordon, Simón, `sin solución de problemas de mayores dimensiones de los nudos y los grupos relacionados," L'Enseignement Mathématique (2) 56 (2010), 143-171.

Ellos nos demuestran que cualquier finitely presentado el grupo es un subgrupo del grupo fundamental de la dotación de un cerrado orientable de la superficie de la $4$-esfera, que es mucho mejor de lo que me informaron.

Original respuesta:

Lo más probable es que quisiera una finitely presentado el grupo, pero esto podría ser de interés de todos modos:

Deje $S$ ser un recursivamente enumerable no recursivo subconjunto de los números naturales y considerar el grupo

$\langle \ a,b,c,d \ | \ a^iba^{-i} = c^idc^{-i} \ \mathrm{for}\ i \in S \rangle$

Esto ha irresoluble problema de palabras. Consulte la página 110 de Chiswell del libro "Un curso de lenguajes formales, autómatas y grupos" disponible en google libros (creo que también en Baumslag del "Temas en la Combinatoria del Grupo de Teoría", pero todos mis libros en cajas en el momento.)

Este debe ser el grupo fundamental del complemento de un noncompact superficie en $\mathbb{R}^4$. Se puede hacer esto en la forma habitual de inicio con el trivial enlace en cuatro componentes y, a continuación, el dibujo de la película de la superficie en $\mathbb{R}^4$, la banda de sumar en cada etapa para hacer los conjugados de la $b$ e $d$ igual.

Creo que usted termina con un anudada a la desunión de la unión de los planos. Recuerdo haber hecho esto en algún momento en la escuela de posgrado cuando el C. Gordon me preguntó si había cualquier compacto de superficies en el $4$-esfera cuyo complementa los grupos con irresoluble problema de palabras.