La convergencia de la Serie de Fourier de $L^1$ Funciones

Question

Hace poco me enteré del resultado Carleson y Hunt (1968), el cual dice que si $f \in L^p$ para $p > 1$, entonces la serie de Fourier de $f$ converge a $f$ pointwise-un.e. También, la Wikipedia me informa de que si $f \in L^p$ para $1 < p < \infty$, entonces la serie de Fourier de $f$ converge a $f$ en $L^p$. Cualquiera de estos resultados implica que si $f \in L^p$ para $1 < p < \infty$, entonces la serie de Fourier de $f$ converge a $f$ en la medida.

Mi primera pregunta es acerca de la $p = 1$ de los casos. Que es:

Si $f \in L^1$, la serie de Fourier de $f$ convergen a $f$ en la medición?

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Yo también recientemente se enteró de que existen funciones de $f \in L^1$ cuya serie de Fourier diverge (pointwise) en todas partes. Por otra parte, como una serie de Fourier pueden converger (Galstyan 1985) o divergen (test de Kolmogorov?) en el $L^1$ métrica.

Mi segunda pregunta es similar:

¿Existen funciones de $f \in L^1$ cuya serie de Fourier converge pointwise una.e., sin embargo, difieren en el $L^1$ métrica?

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(Notas: Aquí, me refiero a la serie de Fourier con respecto a la norma trigonométricas del sistema. También estoy refiriendo sólo a la medida de Lebesgue en [0,1]. Por supuesto, si alguien conoce alguna más general de los resultados, eso sería genial, también.)

Answer 1

La respuesta a tu primera pregunta es no. Hay un $L^1$ función con la serie de Fourier no converge en la medida.

En el test de Kolmogorov ejemplo de una $L^1$ función de $f$ con una.e. divergentes de la serie de Fourier, de hecho hay un conjunto de medida positiva $E$ y una larga $n_k$ tal que para todos los $x$ en $E$, los valores absolutos de las sumas parciales $S_{n_k}$ de la serie de Fourier se extiende hacia el infinito con $k$.

$$\forall x\in E,\ \ |S_{n_k}f(x)|\rightarrow \infty$$

Esto puede comprobarse a partir de la construcción de la $f$ en el artículo original de la prueba de Kolmogorov, en sus obras.

Si $S_nf$ converge en cierta medida, a continuación, $S_{n_k}f$ debe también converge a la medida. Esto implica que hay una larga $n_{k_l}$ tal que $S_{n_{k_l}}f(x)$ converge a.e. $x$, una contradicción.