Hace poco me enteré del resultado Carleson y Hunt (1968), el cual dice que si $f \in L^p$ para $p > 1$, entonces la serie de Fourier de $f$ converge a $f$ pointwise-un.e. También, la Wikipedia me informa de que si $f \in L^p$ para $1 < p < \infty$, entonces la serie de Fourier de $f$ converge a $f$ en $L^p$. Cualquiera de estos resultados implica que si $f \in L^p$ para $1 < p < \infty$, entonces la serie de Fourier de $f$ converge a $f$ en la medida.
Mi primera pregunta es acerca de la $p = 1$ de los casos. Que es:
Si $f \in L^1$, la serie de Fourier de $f$ convergen a $f$ en la medición?
Yo también recientemente se enteró de que existen funciones de $f \in L^1$ cuya serie de Fourier diverge (pointwise) en todas partes. Por otra parte, como una serie de Fourier pueden converger (Galstyan 1985) o divergen (test de Kolmogorov?) en el $L^1$ métrica.
Mi segunda pregunta es similar:
¿Existen funciones de $f \in L^1$ cuya serie de Fourier converge pointwise una.e., sin embargo, difieren en el $L^1$ métrica?
(Notas: Aquí, me refiero a la serie de Fourier con respecto a la norma trigonométricas del sistema. También estoy refiriendo sólo a la medida de Lebesgue en [0,1]. Por supuesto, si alguien conoce alguna más general de los resultados, eso sería genial, también.)