Después de un par de días de pensamiento, entiendo lo $Ham(8,4)$ conoce $Spin(7)$. Voy a describir un camino de aquí. Desde que estoy respondiendo a mi propia pregunta, he marcado en esta respuesta de la Comunidad Wiki. Usted está invitado explícitamente para editar la respuesta, sin embargo le parezca a mejorar. Si realiza modificaciones sustantivas, por supuesto, usted probablemente debería cambiar este párrafo. --Theo
El real álgebra de Clifford $Cliff(8)$ es, naturalmente, un "trenzado grupo de álgebra" de $\mathbb F_2^8$ en el siguiente sentido: tiene un $\mathbb R$base $x_\alpha$ indexados por $\alpha \in \mathbb F_2^8$ con $x_\alpha x_\beta = \epsilon(\alpha,\beta) x_{\alpha + \beta}$ donde $\epsilon = \pm 1$ es un grupo de cocycle en $\mathbb F_2^8$. Por supuesto, diferentes personas pueden tomar decisiones diferentes para el cocycle $\epsilon$ --- cambiarlo por un coboundary corresponde a la evolución de la base por una matriz diagonal. Voy a arreglar la siguiente elección: identificar las $\mathbb F_2^8$ con el juego de poder de $\{1,\dots,8\}$; deje $x_1,\dots,x_8$ ser los generadores de $Cliff(8)$; si $\{i,j,\dots,k\} \subseteq \{1,\dots,8\}$ es ordenado (por lo $i<j<\dots<k$), a continuación,$x_{ij\dots k} = x_ix_j\dots x_k$. (No voy a usar expresiones como "$x_{21}$" o "$x_{11}$".)
El Código de Hamming $Ham(8,4) \subseteq \mathbb F_2^8$ es un subgrupo isomorfo a $\mathbb F_2^4$. Vamos a tratar de levantar esta a una inclusión de $\mathbb F_2^4 \to Cliff(8)$.
Recordemos la definición del Código de Hamming: $\emptyset$ e $12345678 \in Ham(8,4)$, y el resto se compone de ciertos 4-elemento subconjuntos de $\{1,\dots,8\}$; para averiguar cuáles, ejecutar a través de todos los 4 elementos de los subconjuntos en orden alfabético, y mantener todos los que tienen en la mayoría de los dos elementos de superposición con todo lo anteriormente guardado términos. El resultado final implica que si $\alpha,\beta \in Ham(8,4)$ e $|\alpha| = |\beta| = 4$,, a continuación, $|\alpha \cap \beta| = 0$ o $2$. Esto implica a su vez que si $\alpha,\beta \in Ham(8,4)$ entonces $x_\alpha^2 = x_\beta^2 = 1$ e $x_\alpha x_\beta = x_\beta x_\alpha$.
Todavía hay el signo problema que, en general,$x_\alpha x_\beta \neq x_{\alpha + \beta}$. Para solucionar este problema, para $\alpha \in Ham(8,4)$, establezca $y_\alpha = (-1)^{|\alpha|/4}x_\alpha$. Entonces
$$ y : \mathbb F_2^4 \cong Ham(8,4) \hookrightarrow Cliff(8) $$
es un multiplicativo mapa. Así como de un ascensor que existe.
Reclamo: $Spin(7) \subseteq SO(8)$ es, precisamente, el estabilizador de la $\sum_{\alpha \in Ham(8,4)} y_\alpha$ (en virtud de la conjugación $SO(8)$-acción en $Cliff(8)$).
Puesto que el $SO(8)$ acción es la interior, la imagen de $\mathfrak{so}(7)$ el marco de esta acción es, precisamente, el cuadrática parte de la centralizador de $\sum_{\alpha \in Ham(8,4)} y_\alpha$.
Prueba: En la notación de este MO pregunta, $\sum_{\alpha \in Ham(8,4)} y_\alpha = 1 + x_{12345678} - \Omega_0$. Pero $1$ e $x_{12345678}$ son estabilizados por todos los de $SO(8)$.
Cuántas opciones hay? Para cualquier elección de cuatro generadores de $Ham(8,4)$ (decir $1234, 1256, 1278, 1357$) se podría establecer $y'_\alpha = \pm y_\alpha$, pero eso es todo, así que hay $2^4$ opciones, generados por $4$ de ellos. (Debe ir a la línea se extendió por $x_\alpha$ y tienen la misma plaza.) Usted puede absorber estas opciones cambiando $x_i$ a $-x_i$ por diversos $i$s. Por supuesto, hay dos familias de opciones distinguido por si el elemento $12345678 \in Ham(8,4)$ se asigna a $x_{12345678}$ o $-x_{12345678}$. Cualquiera de las dos opciones de la misma familia están relacionados mediante la conjugación por la diagonal de las matrices en $SO(8)$. (Las dos familias están relacionados mediante la conjugación por la diagonal de las matrices en $O(8)$, pero no en $SO(8)$.)
Así que no hay realmente no hay mucha variedad, y el Código de Hamming hace "saber" $Spin(7)$. Creo que lo que está pasando con las dos opciones es la siguiente. Deje $\tau : Spin(8) \overset \sim \to Spin(8)$ denotar la trialidad mapa, y deje $\iota : Spin(7) \to Spin(8)$ denotar la costumbre de incrustación (que abarca la inclusión canónica $\mathfrak {so}(7) \to \mathfrak {so}(8)$ es $0$ en la última fila y columna) $\pi : Spin(8) \to SO(8)$ el doble de la cubierta. A continuación, la composición de la $\pi \tau \iota : Spin(7) \to SO(8)$ es la incrustación de objetos en cuestión. Pero también se podría haber utilizado el "otro" trialidad $\tau^{-1}$, que corresponde a la elección de la otra vuelta módulo para $Spin(8)$.
