El propósito de esta respuesta es para dar una prueba para el siguiente resultado que Sergei se mencionó en la respuesta:
La proposición. Deje $M$ completa de Riemann colector y $x,y \in M\times M$, $x\neq y$. A continuación, los siguientes son equivalentes:
La de Riemann distancia $d:M\times M\rightarrow[0,\infty)$ es suave en un barrio de $(x,y)$.
Sólo hay una longitud de minimizar geodésico de la conexión de los puntos de $x$ e $y$ y no son conjugar a lo largo de esa línea geodésica.
La prueba de la Proposición. La Proposición de la siguiente manera a partir de los tres Lemas por debajo de la cual libremente el uso de algunas de las propiedades de los llamados
segmento de dominios $\Sigma_x=\{w\in T_xM: d(x,\exp_x(w))=\vert w \vert\}$:
- $\exp_x: \mathrm{int} \Sigma_x\rightarrow M$ es un diffeomorphism a su imagen [Gallot-Lafontaine, Corolario 3.77 o Petersen, Lema 5.7.8 y la Proposición 5.7.10]
- $M= \exp_x(\mathrm{int}\Sigma_x)\cup\exp_x(\partial \Sigma_x)$ y la unión es distinto [Gallot-Lafontaine, la Proposición 2.113].
- Denotar $\partial^1\Sigma_x = \{w\in \partial \Sigma_x: \exp_x(w)=\exp_x(w')$ para algunos $w'\in \partial \Sigma_x\backslash\{w\}\}$. Entonces:
- Si $w\in \partial \Sigma_x\backslash \partial^1\Sigma_x$, a continuación, $D\exp_x\vert_w$ es singular. [Gallot-Lafontaine, Scholium 3.78 o Petersen, Lema de 5.78 ]
- $\exp_x(\partial^1\Sigma_x) \subset \exp_x(\partial \Sigma_x)$ es densa [Sakai, Observación 4.9].
Advertencia. La densidad de $\exp_x(\partial^1\Sigma_x) \subset \exp_x(\partial \Sigma_x)$ es crucial para la prueba del Lema 1, sin embargo Sakai no probar este resultado en el Comentario 4.9, sino de los estados que se sabe que.... Para mí, la declaración no es trivial, así que agradecería si alguien podría explicar este resultado o mostrar cómo se puede trabajar sin la densidad de argumento.
Lema 1. $d^2(x,\cdot):M\rightarrow [0,\infty)$ es suave en un barrio de $y$ si y sólo si $y\in \exp_x(\mathrm{int} \Sigma_x).$
Prueba. (En el conjunto abierto) $\exp_x(\mathrm{int}\Sigma_x)$ tenemos $d(x,y) = \vert \exp_x^{-1}(y)\vert^2$ que es claramente una función suave en $y$.
Lo contrario supone que $d(x,\cdot)^2$ es suave en algún conjunto abierto $U\subset M$ y nota que es suficiente para demostrar
$$U \cap \exp_x(\partial \Sigma_x) = \emptyset \tag{1}.$$
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la $x\notin U$, entonces también se $d(x,\cdot)$ es suave en $U$ y tiene un gradiente $G\in C^\infty(U;TM)$. Deje $\gamma:[0,l]\rightarrow M$ ser un longitud de la minimización de la unidad de velocidad geodésica con $\gamma(0)=x$ e $y=\gamma(1)\in U$. Entonces
$d(x,\gamma(t))=t$ y la diferenciación de los rendimientos de $\langle G_y, \dot \gamma(l)\rangle = 1$. En particular, $d(x,\cdot)$ no tiene vanising gradiente en $\gamma(l)$ y por lo tanto es una inmersión en un barrio de $\gamma(l)$. Esto implica que el complemento ortogonal de $\dot\gamma(l)\in T_yM$ es generado por los vectores $\dot c(0)$, donde $c:(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow M$ son curvas con $c(0)=y$ e $d(x,c(s))=\mathrm{const}$. Desde $\langle G_y , \dot c(0)\rangle = 0$ de esas curvas, tenemos
$
G_y = \dot \gamma(l).
$
Llegamos a la conclusión de:
$$\text{Length minimising geodesics which start in $x$ don't intersect in $U$.} \tag{2}$$
Ahora podemos demostrar (1). Suponemos que, al contrario, $U \cap \exp_x(\partial \Sigma_x) \neq \emptyset$. Entonces por densitity de $\exp_x(\partial^1 \Sigma_x)$ también contamos $U \cap \exp_x(\partial^1 \Sigma_x) \neq \emptyset$ e hay $w,w'\in \partial \Sigma_x$ con $w\neq w'$ e $\exp_x(w) = \exp_x(w')\in U$, lo cual está en contradicción con (2).
Lema 2. $d^2:M\times M\rightarrow [0,\infty)$ es suave en un barrio de $(x,y)$ si y sólo si $y \in \exp_x(\mathrm{int} \Sigma_x)$.
Prueba. Si $d^2$ es suave cerca de $(x,y)$, a continuación, $d^2(x,\cdot)$ es suave cerca de $y$ y el Lema anterior implica que $y\in \exp_x(\mathrm{int}\Sigma_x)$. De lo contrario definen $\Sigma = \bigcup_x \Sigma_x \subset TM$ y la nota que
$$
\Sigma \text{ cerrado }\quad \text{ y } \quad \mathrm{int} \Sigma \cap T_xM = \mathrm{int} \Sigma_x \etiqueta{3}.
$$
Definir
$$
F: \mathrm{int} \Sigma \rightarrow M\times M, (x,w) \mapsto (x,\exp_x(w))
$$
y tenga en cuenta que
$$
DF\vert_{(x,w)} = \begin{bmatrix}
\mathrm{id} & 0\\
\ast& D \exp_x\vert_w
\end{bmatrix}
$$
es invertible para todos los $(x,w)\in \mathrm{int} \Sigma$. Más $F$ es fácilmente visto para ser inyectiva y por lo tanto tiene un suave inverso $F^{-1}:F(\mathrm{int} \Sigma) \rightarrow \mathrm{int} \Sigma$. Por lo tanto $d^2(x,y)= \vert F^{-1}(x,y)\vert ^2$ es suave en un barrio de todos los $(x,y) \in F(\mathrm{int} \Sigma)$, lo que concluye la prueba.
Lema 3. $y\in \exp_x(\mathrm{int} \Sigma_x)$ si y sólo si existe una única distancia de la minimización de la geodésica entre $x$ e $y$ y a lo largo de esta línea geodésica que no conjugada.
Prueba. Deje $y=\exp_x(w)$ con $w \in \mathrm{int}\Sigma_x$. A continuación, $t\mapsto \exp_x(tw)$, $0\le t\le 1$ es de longitud minimizar (debido a $w \in \Sigma_x$) y $x$ e $y$ no conjugada a lo largo de este geodésica ($D\exp_x\vert_w$ es invertible porque $\exp_x$ es un diffeomorphism en $\mathrm{int}\Sigma_x$). Si existe otra longitud de la minimización de la geodésica de $x$ a $y$, a continuación, $y=\exp_x(w')$ para algunos $w'\in \Sigma_x \backslash \{w\}$. Desde $\exp_x(\mathrm{int}\Sigma_x)\cap\exp_x(\partial \Sigma_x)=\emptyset$ debemos tener $w'\in \mathrm{int} \Sigma_x$, pero esto es falso (desde $\exp_x$ es inyectiva en $\mathrm{int} \Sigma_x$).
Por el contrario asumir que hay un único, la minimización de la distancia geodésica de $x$ a $y$ y que no son conjugar a lo largo de esa línea geodésica. A continuación, $y=\exp_x(w)$ para algunos $w\in \Sigma_x$. Si tuviéramos $w\in \partial \Sigma_x$, entonces habría dos la longitud de la minimización de la geodésica entre $x$ e $y$ (correspondiente a $w\in \partial^1 \Sigma_x$) o $x$ e $y$ sería conjugado (correspondiente a $D \exp_x\vert_w$ ser singular).
